Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

La simulation des réservoirs pétroliers (genèse de bassin, production d'hydrocarbures) ou celle du stockage géologique du CO2 impose la prise en compte des contraintes liées aux milieux naturels, aussi bien au niveau de la construction des maillages que dans le choix des schémas numériques. Historiquement, les schémas volumes finis centrés aux mailles sont très utilisés, en combinaison de maillages à dominantes hexaédriques. Nous discuterons ici d'une nouvelle approche basée sur le schéma VAG (Vertex Approximate Gradient) mieux adapté aux grilles non structurées et dont les avantages et inconvénients seront discutés. Puis nous étudierons, théoriquement et numériquement, son application à l'approximation d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique dans un milieu poreux hétérogène dans lequel la courbe de pression capillaire varie selon le type de roche. Un parallèle avec l'équation de Richards, célèbre en hydrologie, sera également évoqué.

Cet exposé est consacré à l'étude mathématiques et numérique d'un problème physique issu de la volcanologie. On s'intéresse à la modélisation polydisperse de croissance de bulles par exsolution, décompression et coalescence. Un modèle de croissance polydisperse a été proposé dans la littérature, mais ne prenait en compte que le volume des bulles, ce qui restreint le domaine d'application car la croissance par exsolution dépend également de la masse d'eau présente dans la bulle. Pour améliorer ce modèle, nous partons d'une description monodisperse adimensionnelle de la croissance d'une bulle par décompression et exsolution, donnée par le couplage de deux EDO et une EDP. La validation numérique permet de définir une approximation du flux afin de découpler le système d'équations. Nous pouvons alors étendre le modèle polydisperse de une à deux dimensions. Une résolution de la coalescence est proposée et couplée avec le modèle de croissance polydisperse.

Afin de déterminer le rang d'une matrice inconnue, on peut tester si elle est de rang m ou plus (pour m=0,1,....). Possédant un estimateur de la matrice, on utilise une statistique égale à la distance entre l'estimateur et la sous-variété des matrices de rang m. La loi asymptotique d'une telle statistique, sous certaines conditions, est un chi2 pondéré. Un test statistique classique compare la valeur de la statistique à un quantile de sa loi asymptotique afin de rejeter ou non l'hypothèse nulle. Une deuxième possibilité est de comparer la statistique à un quantile calculé par bootstrap. Cette deuxième option est préférable car bien souvent la loi de la statistique est plus proche de sa loi bootstrap que de sa loi asymptotique (voir par exemple livre de P. Hall, Bootstrap and Edgeworth expansion). Dans le cas de l'estimation de rang, les statistiques utilisées résultent d'une optimisation sous contrainte et il n'existe pas de procédure bootstrap générale. Nous présentons, dans un premier temps, le bootstrap contraint qui est une méthode permettant de reproduire la loi d'estimateurs contraints. En particulier, nous démontrons la consistance du test d'appartenance à une sous-variété sous des hypothèses aussi faibles que celles nécessaires au test classique. Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'estimation du rang d'une matrice par test d'hypothèse. Plus précisément, on applique les résultats de la première partie afin d'obtenir le bootstrap de trois statistiques issues de cette littérature. Enfin nous proposons une application à la réduction de la dimension en régression. (Travail en collaboration avec Bernard Delyon.)

Dans le cadre du nucléaire civil, la modélisation des écoulements diphasiques est nécessaire à la représentation de nombreuses configurations d'écoulements fluides dans les circuits primaire et secondaire des centrales s'appuyant sur des réacteurs à eau pressurisée (REP). Les applications visées concernent non seulement le fonctionnement nominal, mais aussi et surtout les configurations incidentelles, parmi lesquelles on peut citer l'accident par perte de réfrigérant primaire (APRP), les phénomènes de crise d'ébullition, mais aussi le renoyage des coeurs. En régime nominal dans le circuit primaire, le fonctionnement est très proche du fonctionnement monophasique pur, la vapeur étant a priori absente. En revanche, le taux de présence de vapeur peut devenir de faible à conséquent dans les situations incidentelles.

On s'intéresse plus particulièrement ici au modèle diphasique de Baer-Nunziato qui entre dans la classe des modèles bifluides hyperboliques. L'objectif de ce travail est de proposer quelques techniques de prise en compte de la disparition de phase, régime qui occasionne d'importantes instabilités tant au niveau du modèle qu'au niveau de sa simulation numérique.

L'enseignement principal est que dans ces régimes, il est possible des stabiliser les solutions en introduisant une dissipation de l'entropie totale de mélange. D'un point de vue numérique, cette dissipation d'entropie supplémentaire permet en effet d'obtenir des approximations stables dans ces régimes. Les méthodes d'analyse et d'approximation proposées reposent de façon intensive sur les techniques d'approximation par relaxation de type Suliciu , et les méthodes numériques qui en découlent. La résolution exacte du problème de Riemann pour le système relaxé permet de définir un schéma numérique extrêmement précis pour le modèle de Baer-Nunziato. Nous montrons que dans les régimes de fonctionnement normal (i.e. sans disparition de phase), la méthode numérique ainsi obtenue est bien plus économique en terme de coût CPU (à précision donnée) que le schéma classique très simple de Rusanov. De plus, nous montrons que ce nouveau schéma est très robuste puisqu'il permet la simulation des régimes de disparition de phase. Les travaux sont initialement développés sur la version 1D du modèle, pour laquelle une inégalité d'entropie discrète vérifiée par le schéma fut démontrée. Ils sont ensuite étendus en 2D et intégrés à un prototype de code industriel développé par EDF.

This talk presents the marked point processes as a methodological framework for morphological and statistical characterisation of the pattern ``hidden'' in spatial data. Digital images, environmental data in epidemiology or catalogues of celestial bodies in astronomy are some typical examples of spatial data. This methodology is made of four key elements : probabilistic modelling based on marked point processes, Monte Carlo simulation using tailored Metropolis-Hastings dynamics or perfect sampling, statistical inference and results validation. Examples from remote sensing, cosmology and epidemiology are also given. The speaker would like also to start a scientific debate with the public, about the main advantages and drawbacks of this approach.