Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

L'érosion hydrique est un phénomène naturel qui représente un risque important pour les espaces agricoles et les zones situées à l'aval: pertes en terre, coulées de boue, turbidité et pollution des eaux. L'érosion des sols résulte de nombreux processus qui jouent au niveau de trois phases: le détachement des particules, le transport solide et la sédimentation. La modélisation de ces processus se situe aux interfaces de domaines scientifiques variés et nécessite une approche multidisciplinaire. Le modèle à base physique, basé sur le principe de conservation, est reconnu comme un outil efficace pour prédire ce phénomène. L'objectif global de ce travail est d'étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d'érosion à l'échelle du bassin versant.

Nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses provenant d'une modélisation multi-échelle de l'écoulement de l'air dans les poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle de l'écoulement de l'air dans les poumons : l'écoulement est modélisé par les équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la pression disponibles sur une autre partie du bord.
Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de Stokes, nous établissons une inégalités de stabilité logarithmique. Ce résultat est basé sur des inégalités de Carleman locales. De plus, sous l'hypothèse a priori que le coefficient de Robin est constant par morceaux, nous prouvons une inégalité de stabilité Lipschitzienne pour le problème stationnaire. Nous concluons, en revenant au problème initial pour lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants concernant l'identification de certains paramètres du modèle (résistances à l'écoulement de l'air, élasticité des tissus).

Plus d'infos : http://anum-maths.univ-rennes1.fr/JourneesNantesRennes/2013/

Nous présentons une méthode permettant de simuler le mouvement de particules rigides immergées dans un fluide visqueux incompressible. On considère un domaine perforé dans lequel on veut résoudre les équations de Stokes incompressible avec une condition de mouvement rigide sur le bord des inclusions (qui représentent les particules rigides) avec une méthode élément finis.

La méthode présentée est une méthode de type domaine fictif ce qui permet l'utilisation de maillage cartésien fixe ainsi que de solveur rapide. Les méthodes de domaine fictif prolonge la solution au domaine tout entier et souffre d'une perte d'ordre de l'erreur en espace dans le cas ou ce prolongement n'est pas régulier. Ainsi, pour prendre en compte la contrainte de mouvement rigide sur le bord de chaques inclusions, on cherche un prolongement régulier de la solution du problème de départ. Pour cela, on résout les équations de Stokes incompressibles dans le domaine fictif avec un prolongement du terme source choisit de façon à obtenir la solution du problème de départ en prenant la restriction, sur le domaine perforé, de la solution calculée.

Tout le problème revient donc à trouver un tel prolongement du terme source qui est trouvé en minimisant une fonction coût avec un algorithme de gradient conjugué. On ne résout que des problèmes de Stokes classiques, non contraint, où seul le terme source dépend de la position des particules.

Nous présentons donc la méthode en détails ainsi que l'algorithme utilisé pour résoudre le problème. On résout deux problèmes de Stokes par itérations du gradient conjugué dont l'un fait intervenir une distribution simple couche. Nous présentons l'analyse numérique de l'approximation de cette distribution par une combinaison de masses de Dirac. Enfin nous présentons quelques simulations en deux et trois dimensions obtenues avec le code de calcul développé.

Les processus markoviens déterministes par morceaux (PDMP's pour l'anglais piecewise-deterministic Markov processes) sont une classe générale de modèles stochastiques non-diffusifs évoluant selon un flot déterministe ponctué par des sauts aléatoires à des instants aléatoires. La loi des sauts est gouvernée par un noyau markovien $Q$ alors que celle des temps inter-sauts est donnée par un taux de saut $\lambda$. Dans cet exposé, je commencerai par définir les PDMP's et donner quelques exemples. La suite sera divisée en deux parties. Dans la première, je montrerai comment estimer la densité conditionnelle associée à $\lambda$ à partir d'une généralisation du modèle multiplicatif d'Aalen pour l'estimation de taux de saut. Dans la seconde, je m'intéresserai à l'estimation récursive du noyau $Q$. Dans les deux cas, l'estimation est réalisée à partir de l'observation en temps long d'une trajectoire d'un PDMP.

Dans cette exposé je présenterai des résultats théoriques et numériques sur quelques modèles mathématiques qui permettent de décrire la dynamique d'un tas de sables. L'étude fait intervenir de l'analyse des EDP non linéaires et de l'optimisation. Je parlerai de deux modèles déterministes et un modèle aléatoire en évoquant l'interaction avec le transport optimal de masse. Je terminerai mon exposé avec une présentation de quelques problèmes ouvert et questions qui nous nous intéresse, en particulier pour l'étude du mouvement de dune.

Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche aux méthodes Volumes Finis d'ordre très élevé pour les systèmes de lois de conservation que j'ai développée durant ma thèse. Dénommée MOOD pour Multi-dimensional Optimal Order Detection, elle se base sur un traitement a posteriori (par décrémentation locale de l'ordre du schéma) des problèmes numériques engendrés par l'ordre élevé (phénomènes de Gibbs, création de valeurs non physiques...) contrastant ainsi avec les limitations a priori des méthodes classiques MUSCL ou WENO. Cette approche permet d'obtenir facilement des propriétés qui sont habituellement difficiles à prouver dans le cadre multi-dimensionel non-structuré (préservation de la positité par exemple). Pour finir je montrerai un ensemble de tests numériques 2D et 3D qui ont démontré la qualité de la méthode MOOD et son gain en termes de ressources informatiques (CPU et mémoire) par rapport aux méthodes déjà existantes.

La simulation des réservoirs pétroliers (genèse de bassin, production d'hydrocarbures) ou celle du stockage géologique du CO2 impose la prise en compte des contraintes liées aux milieux naturels, aussi bien au niveau de la construction des maillages que dans le choix des schémas numériques. Historiquement, les schémas volumes finis centrés aux mailles sont très utilisés, en combinaison de maillages à dominantes hexaédriques. Nous discuterons ici d'une nouvelle approche basée sur le schéma VAG (Vertex Approximate Gradient) mieux adapté aux grilles non structurées et dont les avantages et inconvénients seront discutés. Puis nous étudierons, théoriquement et numériquement, son application à l'approximation d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique dans un milieu poreux hétérogène dans lequel la courbe de pression capillaire varie selon le type de roche. Un parallèle avec l'équation de Richards, célèbre en hydrologie, sera également évoqué.

Cet exposé est consacré à l'étude mathématiques et numérique d'un problème physique issu de la volcanologie. On s'intéresse à la modélisation polydisperse de croissance de bulles par exsolution, décompression et coalescence. Un modèle de croissance polydisperse a été proposé dans la littérature, mais ne prenait en compte que le volume des bulles, ce qui restreint le domaine d'application car la croissance par exsolution dépend également de la masse d'eau présente dans la bulle. Pour améliorer ce modèle, nous partons d'une description monodisperse adimensionnelle de la croissance d'une bulle par décompression et exsolution, donnée par le couplage de deux EDO et une EDP. La validation numérique permet de définir une approximation du flux afin de découpler le système d'équations. Nous pouvons alors étendre le modèle polydisperse de une à deux dimensions. Une résolution de la coalescence est proposée et couplée avec le modèle de croissance polydisperse.

Afin de déterminer le rang d'une matrice inconnue, on peut tester si elle est de rang m ou plus (pour m=0,1,....). Possédant un estimateur de la matrice, on utilise une statistique égale à la distance entre l'estimateur et la sous-variété des matrices de rang m. La loi asymptotique d'une telle statistique, sous certaines conditions, est un chi2 pondéré. Un test statistique classique compare la valeur de la statistique à un quantile de sa loi asymptotique afin de rejeter ou non l'hypothèse nulle. Une deuxième possibilité est de comparer la statistique à un quantile calculé par bootstrap. Cette deuxième option est préférable car bien souvent la loi de la statistique est plus proche de sa loi bootstrap que de sa loi asymptotique (voir par exemple livre de P. Hall, Bootstrap and Edgeworth expansion). Dans le cas de l'estimation de rang, les statistiques utilisées résultent d'une optimisation sous contrainte et il n'existe pas de procédure bootstrap générale. Nous présentons, dans un premier temps, le bootstrap contraint qui est une méthode permettant de reproduire la loi d'estimateurs contraints. En particulier, nous démontrons la consistance du test d'appartenance à une sous-variété sous des hypothèses aussi faibles que celles nécessaires au test classique. Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'estimation du rang d'une matrice par test d'hypothèse. Plus précisément, on applique les résultats de la première partie afin d'obtenir le bootstrap de trois statistiques issues de cette littérature. Enfin nous proposons une application à la réduction de la dimension en régression. (Travail en collaboration avec Bernard Delyon.)