Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Dans cet exposé, nous montrons que l'erreur (en norme L1) entre la solution exacte de l'équation de transport et son approximation par le schéma upwind est d'ordre h\sqrt{h}, où h est la taille typique d'une maille. La nouveauté de ce résultat est qu'on se place sur un demi-espace et non sur Rn\mathbb{R}^n tout entier, et qu'on a donc, en plus de la donnée initiale, une donnée au bord sur la partie du bord où le champs de vitesse est rentrant. Nous étendons à ce cas le résultat de convergence optimal à l'ordre 1/2 établi par Merlet et Vovelle, en gardant des conditions assez générales sur le maillage (régulier mais pas cartésien), sur les données initiale et au bord (seulement BV) et sur le champs de vitesse. Ce dernier est supposé à divergence nulle et lipschitzien en espace, mais peut varier discontinument en temps. La présence d'un bord complique singulièrement l'analyse de convergence, en particulier parce que la solution exacte est moins régulière que dans le cas de l'espace tout entier. Je présenterai la structure de la preuve et les résultats nouveaux sur la solution exacte qui permettent de conclure. Ceci est un travail avec Franck Boyer (IMT).

La simulation numérique d'une équation d'advection par des schémas classiques de type volumes finis engendre souvent des artéfacts conduisant à des effets de diffusion numérique ou d'oscillation qui peuvent dénaturer le profil asymptotique des solutions cherchées. Pour éviter ou réduire ces artéfacts numériques, des schémas ayant la propriété anti-dissipative ou la propriété non-oscillante peuvent être utilisés. C'est dans ce cadre que je présente un schéma hybride dont la motivation première est d'améliorer un schéma anti-dissipatif existant et initialement développé par B. Desprès et F. Lagoutière.

Nous nous intéressons au cadre des modèles de Markov partiellement observés (MMPO) et rappelons quelques modèles populaires de séries temporelles qui rentrent dans cette large catégorie. Dans différents travaux menés avec Randal Douc, Tepmony Sim et Jimmy Olsson, nous nous sommes attachés à établir des résultats assez généraux pour montrer la consistance du maximum de vraisemblance et de la loi a posteriori dans un cadre d'inférence bayésienne. Dans le premier cas, nous proposons une approche générale qui s'applique à la diversité des modèles qui rentrent dans le cadre des MMPO, dont beaucoup d'entre eux ont déjà été étudiés mais de façon très spécifique. Dans le second cas, nous tentons aussi de fournir une approche assez générale dans un contexte où les travaux existants semblent beaucoup plus rares. Le point central commun entre ces travaux est l'étude du comportement asymptotique de la statistique du rapport de vraisemblance.

I will focus on the existence of BV solutions to scalar conservation laws whose flux may have a non-continuous dependence on the spatial variable x. Our approach is based on the front tracking method. Such models arise in traffic flows. (work in collaboration with B. Piccoli)

L'analyse topologique des données désigne un ensemble de méthodes et d'algorithmes dont l'objectif est l'estimation des propriétés topologiques d'une forme géométrique. Dans une première partie de l'exposé, je proposerai une introduction aux principales méthodes de l'analyse topologique des données. Je présenterai en particulier la persistance homologique et je donnerai quelques résultats statistiques récents dans ce cadre. Cette approche s'appuie sur des fonctions distance aux sous-ensembles compacts. En remplaçant les sous-ensembles compacts par des mesures, Chazal, Cohen-Steiner et Mérigot (2011) ont proposé d'étendre le cadre des fonctions distance en remplaçant les sous-ensembles compacts par des mesures. Cette nouvelle fonction distance est beaucoup plus robuste et permet d'aborder l'analyse topologique des données avec un point de vue plus probabiliste. Dans la seconde partie de l'exposé, je présenterai quelques résultats statistiques récents sur l'estimation de cette distance à la mesure.

Travail en collaboration avec Mélisande Albert, Yann Bouret et Patricia Reynaud-Bouret.

Dans la perspective d’un déchiffrage du code neuronal, la détection du phénomène de syn- chronisation de potentiels d’action ou spikes apparaît aujourd’hui comme une question fonda- mentale en neurosciences, traitée par de nombreux auteurs (c.f. Pipa et Grün (2003), Grün et al. (2010), Tuleau-Malot et al. (2014)). Aucun modèle statistique paramétrique pour les trains de spikes n’étant communément accepté par les neuroscientifiques, nous considérons cette ques- tion sous l’angle d’un problème de test non paramétrique d’indépendance entre deux processus ponctuels. Nous proposons des tests basés sur des U -statistiques de processus ponctuels et sur des approches de bootstrap ou de permutation. Sans hypothèse contraignante sur la distribution des processus observés, nous obtenons des résultats généraux de consistance par rapport à la distance de Wasserstein pour les deux approches. Ces résultats nous permettent de montrer que nos tests sont de taille asymptotique attendue et consistants, les tests par permutation ayant de plus l’avantage d’être exactement du niveau attendu. Une étude expérimentale, dans laquelle nous comparons nos tests à ceux utilisés jusqu’à présent en neurosciences, vient illustrer l’étude théorique. Enfin, pour pouvoir détecter plus précisément la localisation des synchronisations de potentiels d’action, nous intégrons les tests par permutation développés ici dans une procédure de tests multiples, que nous appliquons à des données neuronales réelles.

Résumé