Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Euler equations for compressible flows treats pressure as a scalar quantity. However, for several applications this description of pressure is not suitable. Many extended model based on the higher moments of Boltzmann equations are considered to overcome this issue. One such model is Ten-moment Gaussian closure equations, which treats pressure as symmetric tensor.

In this work, we develop a higher-order, positivity preserving Discontinuous Galerkin (DG) scheme for Ten-moment Gaussian closure equations. The key challenge is to preserve positivity of density and symmetric pressure tensor. This is achieved by constructing a positivity limiter. In addition to preserve positivity, the scheme also ensures the accuracy of the approximation for smooth solutions. The theoretical results are then verified using several numerical experiments. This is a joint work with Dr. Praveen Chandrashekar (TIFR-CAM, Bangalore) and Ms. Asha Meena (IIT Delhi).

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la résolution numérique d'équations de convection-diffusion non-linéaires munies de conditions de flux nuls ou/et Dirichlet non-homogènes au bord. Pour une certaine classe de non-linéarités, ces équations admettent une large gamme d'entropies relatives assurant la convergence de la solution en temps long vers l'état stationnaire.

Nous proposerons un schéma volumes finis construit à partir des flux discrets de l'équation stationnaire et préservant toutes ces fonctionnelles de Lyapunov. Cela nous permettra d'obtenir un comportement en temps long précis au niveau discret ainsi que les estimations nécessaires pour assurer la convergence du schéma. Nous illustrerons par des simulations numériques le bon comportement en temps long du schéma sur différents modèles, tels que l'équation de Fokker-Planck avec champ magnétique ou l'équation des milieux poreux. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Francis Filbet.

In this talk, we show that using repulsive random variables, it is possible to build Monte Carlo methods that converge faster than vanilla Monte Carlo. More precisely, we build estimators of integrals, the variance of which decreases as $N^{-1-1/d}$, where $N$ is the number of integrand evaluations, and $d$ is the ambient dimension. To do so, we propose stochastic numerical quadratures involving determinantal point processes (DPPs) associated to multivariate orthogonal polynomials. The proposed method can be seen as a stochastic version of Gauss' quadrature, where samples from a determinantal point process replace zeros of orthogonal polynomials. Furthermore, integration with DPPs is close in spirit to randomized quasi-Monte Carlo methods, leveraging repulsive point processes to ensure low discrepancy samples.

Je présenterai tout d'abord les différents types de circulations océaniques et leur lien avec les changements climatiques. Puis je parlerai brièvement des différents modèles mathématiques de l'océan ayant vu le jour dans les 50 dernières années. L'analyse portera principalement sur le modèle de Saint-Venant qui permet de simuler la propagation d'ondes typiques : Kelvin, Inertie-gravité, Rossby, impliquées dans le phénomène El Nino. La plupart des méthodes numériques utilisées pour résoudre les équations de Saint-Venant conduisent à l'apparition de solutions non physiques et/où à des problèmes de dispersion/dissipation dans la représentation des ondes. Après un survol de ces difficultés, je montrerai que la méthode de Galerkin discontinue, selon le choix du flux numérique, possède de bonnes propriétés pour bien résoudre les écoulements océaniques. Les travaux analytiques seront illustrées par la simulation numérique de tourbillons océaniques (Gulf Stream) et d'ondes équatoriales.

Les modèles aux moments angulaires constituent des descriptions intermédiaires entre les modèles cinétiques et les modèles fluides. Dans ce travail, les modèles aux moments angulaires basés sur un principe de minimisation d'entropie sont étudiés pour des applications en physique des plasmas. La présentation est organisée en trois parties. La première est une contribution à la modélisation en physique des plasmas à travers le formalisme des modèles aux moments angulaires. Dans celle-ci, le domaine de validité de ces modèles est étudié en régimes non-collisionels. Il est également montré que les opérateurs de collisions proposés pour le modèle M1 permettent de retrouver des coefficients de transport plasma précis. La deuxième partie de cette présentation concerne la dérivation de méthodes numériques pour l'étude du transport de particules en temps long. Dans ce cadre, des schémas numériques appropriés pour le modèle M1, préservant l'asymptotique, sont construits et validés numériquement. La troisième partie représente un premier pas significatif vers la modélisation multi-espèces. Ici, le modèle aux moments angulaire M1, considéré dans le référentiel de vitesse moyenne des particules, est appliqué à la dynamique des gaz raréfiés. Les propriétés de ce modèle sont détaillées, un schéma numérique est proposé et une validation numérique est menée.

In this talk we consider the effect of randomness in kinetic equations that preserve mass. The analysis is carried out in a general setting, with the regularity result not depending on the specific form of the collision term, the probability distribution of the random variables, or the regime the system is in. The proof relies on the explicit expression of the high order derivatives of the solution in the random space, and the convergence in time is mainly based on hypocoercivity, which, despite the popularity in PDE analysis of kinetic theory, has rarely been used for numerical algorithms.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique des fluides isothermes évoluant dans le domaine de communication extérieur d'un trou noir de Schwarzschild. Nous présenterons plusieurs méthodes numériques basées sur la géométrie de Schwarzschild et étudierons numériquement la stabilité nonlinéaire des solutions `` équilibre'' et le comportement asymptotique des solutions générales de l'équation d'Euler et de l'équation de Burgers. Les schémas proposés fournissent un outils numérique capable de préserver exactement les équilibres et nous permettent d'analyser l'evolution de fluides avec effets géométriques.