Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Pour les méthodes de volumes finis comme pour les méthodes mixtes, on calcule des flux. Pour les problèmes de diffusion, ces flux sont reliés au gradient du champ scalaire. Quel sens donner au gradient dans un cadre discret où le champ scalaire n'est pas dérivable (par exemple constant par mailles) ? On aborde cette question dans un cadre élément fini de type Petrov-Galerkin. L'objectif est d'avoir (comme en volumes finis) un calcul local des flux, tout en bénéficiant d'un cadre élément fini où les solutions discrètes sont aussi des fonctions (scalaires et vectorielles). Cette approche a permis d'élaborer de nouveaux schémas numérique pour le problème du Laplacien que l'on présentera.

In the first part of the talk, we will introduce spatial Gaussian processes. Spatial Gaussian processes are widely studied from a statistical point of view, and have found applications in many fields, including geostatistics, climate science and computer experiments. Exact inference can be conducted for Gaussian processes, thanks to the Gaussian conditioning theorem. Furthermore, covariance parameters can be estimated, for instance by Maximum Likelihood.In the second part of the talk, we will introduce a class of iterative sampling strategies for Gaussian processes, called 'stepwise uncertainty reduction' (SUR). We will give examples of SUR strategies which are widely applied to computer experiments, for instance for optimization or detection of failure domains. We will provide a general consistency result for SUR strategies, together with applications to the most standard examples.

On s'intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies explicites à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est limité à celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique du type Dirichlet homogène. Sous les hypothèses habituelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret, nous discuterons de la possible description qualitative de la solution numérique dans différentes situations. Celle-ci permet d'obtenir une estimation de semi-groupe pour le schéma, compatible à la limite avec celle de la solution du problème aux limites hyperbolique.

Dans un contexte industriel, l'utilisation de modèles diphasiques d'ordre réduit est nécessaire pour pouvoir effectuer des simulations numériques prédictives d'injection de combustible liquide dans les chambres de combustion automobiles et aéronautiques. En effet, le processus d'atomisation du combustible, depuis sa sortie de l'injecteur sous un régime de phases séparées, jusqu'au brouillard de gouttelettes dispersées, est un paramètre important de la qualité de la combustion et de la formation des polluants. Aujourd'hui cependant, la prise en compte de toutes les échelles physiques impliquées dans ce processus nécessite une avancée majeure en termes de modélisation, de méthodes numériques et de calcul haute performance. Ces trois aspects sont abordés dans des travaux réalisés au laboratoire EM2C de CentraleSupélec, au laboratoire CMAP de l'Ecole Polytechnique et à la Maison de la Simulation.

En particulier, des modèles de mélange Eulériens pour les écoulements à phases séparées sont dérivés à partir du principe variationnel de Hamilton et prennent en compte des effets de pulsation de l'interface au niveau des échelles non résolues, compatibles avec la description de milieux à bulles. De plus, une description générale des interfaces à l'aide d'une statistique de leurs propriétés géométriques permettra de coupler les modèles de mélange pour phases séparées aux modèles cinétiques utilisés pour décrire la phase dispersée.

La stratégie de discrétisation des équations diphasiques est basée sur des méthodes de volumes finis d'ordres 1 et 2, un splitting d'opérateurs pour la résolution de la partie convective à l'aide de solveurs de Riemann approchés et l'intégration des termes sources par des solveurs d'EDO spécifiques. Cette stratégie comprend également l'utilisation de maillages adaptatifs (AMR). Grâce à la bibliothèque p4est, le code AMR développé pour la résolution des équations diphasiques, CanoP, permet de réaliser des calculs massivement parallèles. Une première application d'écoulements interfaciaux à faible nombre de Mach a été étudiée. La généricité du code CanoP permettra par la suite d'intégrer facilement de nouvelles applications, en particulier pour la simulation du processus complet d'injection.

We propose to present some results on the approximation by DDFV (Discrete Duality Finite Volume) methods of the incompressible Navier-Stokes problem with open boundary conditions on the outflow. The advantage of DDFV schemes is to be able to work on general meshes that do not necessarily satisfy the classical orthogonality condition imposed on finite volume meshes. The boundary conditions we are interested in have been derived by a particular weak formulation of Navier-Stokes that ensures an energy estimate. We propose to recreate the same situation at a discrete level thanks to the DDFV formalism.

The floating body problem on a large space scale is considered. It is motivated by applications for geophysical phenomena such as flows under the ice floe or in sewers, floating icebergs and renewable energy production using wave energy converters. A shallow water model with a supplementary congestion constraint is derived from the Navier-Stokes equations. The congestion constraint is a challenging problem for the numerical approximation of hyperbolic equations. The resolution proposed is based on a pseudo-compressible relaxation of the constraint. The energy transfer between the fluid and the solid is focused on since it is of major interest for energy production. We proof the dissipation of the mechanical energy at the discret level for the fluid-structure interaction. We perform several numerical validation to illustrate our results.

In this talk I will present some result about evolutionary dynamics of populations using nonlocal PDEs and free boundary model. I will first focus on the evolution of sexual or asexual population facing environmental change. Starting with a Individual based model, we obtain an analytical description of this microscopic model using nonlocal partial differential equations. In a special regime of "small mutation", we are able to approximate analytically the behavior of the microscopic model and we deduce qualitative as well as quantitative effect of the environmental change on the evolutionary dynamics of the population. In a second part, I discuss the problem of speed of adaptation of a population when beneficial mutation always occurs. We use a free boundary problem to describe the adaptation of a population to a new environment and we compare our results with the Wright-Fisher micrsocopic model.

On présente tout d'abord la classe de modèles multiphasiques considérée, dans un cadre barotrope, pour des composants non miscibles (eau liquide, vapeur d'eau, métal liquide, ...), et on donne les principales propriétés du modèle de base. On introduit ensuite le schéma à pas fractionnaires utilisé pour la simulation instationnaire du modèle, qui préserve la positivité des masses partielles et des taux de présence sous condition CFL.
Quelques cas tests de vérification, basés sur les solutions du problème de Riemann, seront présentés, ainsi qu'un cas de validation basé sur une expérience d'onde de choc venant impacter un lit de particules rigides (ou de gouttes). On discutera également les voies d'amélioration possibles, concernant les modèles et les schémas, ainsi que les extensions en cours d'examen.