Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Uncertainty Quantification (UQ) aims at characterizing and quantifying the impact of some input parameters of interest, generally modelled as random variables, onto the outcome of a computational model. The goal could be for instance to estimate the mean behaviour of a system or its probability of failure. Often the model is too expensive to evaluate so that the UQ analysis is realized on a surrogate model, meaning an approximation that allows fast evaluations of the input-to-output relashionship. However, approximation of multivariate functions is a difficult task when the number of input parameters is large. Identifying the directions where the function does not vary significantly is a key preprocessing step to reduce the complexity of the approximation algorithms.

In this talk, we propose and analyze gradient-based methods that permit to detect such a low-dimensional structure. The methodology consists in minimizing an upper-bound of the approximation error obtained using Poincaré-type inequalities. We show the connection with standard screening techniques used in Global Sensitivity Analysis. We then explain how this methodology naturally extends to nonlinear dimension reduction, e.g. when the function is not constant along a subspace but along a low-dimensional manifold.

Sorted L-One Penalized Estimator is a relatively new convex optimization procedure for identifying predictors in large data bases. In this lecture we will present the method, some theoretical and empirical results illustrating its properties and the applications in the context of genomic and medical data. Apart from the classical version of SLOPE we will also discuss its spike and slab version, aimed at reducing the bias of estimators of regression coefficients. When discussing SLOPE we will also present some new theoretical results on the probability of discovering the true model by LASSO (which is a specific instance of SLOPE) and its thresholded version

L'équation de Cahn-Hilliard a été introduite en 1958 pour modéliser la separation de phases dans des materiaux binaires. Elle a ensuite ete generalisee en 2007 par A. Bertozzi & al. pour la retouche d'images binaires (noir et blanc). Je presenterai les principaux resultats theoriques associes a cette equation ainsi que des exemples numeriques d'application a la retouche d'image. Puis je proposerai deux variantes de ce modele pour l'appliquer a la retouche d'images colorees ou en degrade de gris.

Dans cet exposé nous introduisons des processus de croissance-fragmentation autosimilaires. Nous nous intéresserons dans un premier temps au comportement asymptotique de ces processus. Nous présenterons ensuite un critère permettant de les obtenir comme limite d'échelle de chaînes de Markov branchantes.

On s'intéresse aux résonances hybrides dans un plasma, avec pour objectif de développer des méthodes d'éléments finis stables (dans un sens que l'on précisera) pour leurs simulations numériques. La modélisation de ces phénomènes nous amène à étudier l'équation -div(alpha grad u)-u=0 avec alpha un coefficient qui s'annule en changeant de signe à l'intérieur du domaine.

Il n'y a pas unicité de la solution à cette équation, et les solutions présentent des singularités. On proposera dans cet exposé une formulation bien posée de cette équation. Des résultats numériques dans un cas simplifié mais où la solution, que l'on sait calculer, contient les mêmes singularités seront proposés

Je présenterai dans cet exposé des résultats théoriques et numériques concernant l'étude d'une technique de neuroimagerie chez le nouveau-né: l'EEG. Ce travail est motivé par des questions d'intérêt clinique posées par l'équipe Inserm GRAMFC dirigée par le Pr Fabrice Wallois (CHU d'Amiens). J'aborderai tout d'abord les aspects de modélisation, puis la résolution des problèmes direct et inverse en EEG. Ces recherches sont menées en collaboration avec M. Diallo (INRIA Carmen, Bordeaux), A. El Badia (UTC Compiègne) et S. Lohrengel(LMR, Reims).

Dans le cadre des big-data, nous sommes très souvent amenés à traiter
un ensemble volumineux des données.

Dans la première partie, nous utilisons des algorithmes stochastiques,
afin de construire des estimateurs récursifs. L'intérêt majeur de ces
approches récursives est qu'elles permettent une mise à jour rapide
des estimateurs lorsque les données sont observées de manière
séquentielle sans être obligé de stoker en mémoire toutes les
observations passées.

Dans la deuxième partie, nous nous focalisons sur le problème de
l’estimation récursive d'une fonction de régression sur des données
fonctionnelles, nous présentons quelques résultats concernant le
comportement asymptotique de l'estimateur non-paramétrique proposé,
nous automatisons par la suite le paramètre de lissage et nous
comparons la méthode proposée à des méthodes existantes en utilisant
des données simulées et ensuite des données réelles.

Dans la troisième partie, nous abordons le problème de la
classification supervisée de courbes, nous soulignons le gain de
l’utilisation des approches récursives en utilisant des données
simulées et ensuite des données réelles.

Dans la quatrième partie, nous considérons le problème de la
classification non supervisée, nous proposons un exemple d’application
qui soulignent l’intérêt pratique de la méthode.