Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

We study the approximation of a square integrable function from a finite number of its evaluations at well-chosen nodes. The function is assumed to belong to a reproducing kernel Hilbert space (RKHS), the approximation to be one of a few natural finite-dimensional approximations, and the nodes to be drawn from one of two probability distributions. Both distributions are related to determinantal point processes, and use the kernel of the RKHS to favor RKHS-adapted regularity in the random design. While previous work on determinantal sampling relied on the RKHS norm, we prove mean-square guarantees in L2 norm. We show that determinantal point processes and mixtures thereof can yield fast rates, and that they shed some light on how the rate changes as more smoothness is assumed, a phenomenon known as superconvergence. Besides, determinantal sampling generalizes i.i.d. sampling from the Christoffel function, a standard in the literature. In particular, determinantal sampling guarantees the so-called instance optimality property for a smaller number of function evaluations than i.i.d. sampling.

Référence : https://hal.science/hal-04181079/

Nous étudions un problème d'évolution basique qui est l'invasion d'un mutant (variant) dans une population résidente. Pour des modèles simples nous donnerons quelques outils mathématiques qui permettent de donner une réponse à la question de l'invasion dans les environnements constants, périodiques et aléatoires.

Références : Arnold, Ludwig (1998). Random dynamical systems. English. Springer Monogr. Math. Berlin: Springer. isbn: 3-540-63758-3. Arnold, Ludwig, Volker Matthias Gundlach, and Lloyd Demetrius (1994). “Evolutionary formalism for products of positive random matrices”. English. In: Ann. Appl. Probab. 4.3, pp. 859–901. issn: 1050-5164. doi: 10.1214/aoap/1177004975. Benaı̈m, Michel et al. (2023). A note on the top Lyapunov exponent of linear cooperative systems. arXiv: 2302.05874 [math.DS]. Carmona, Philippe (2022). “Asymptotic of the largest Floquet multiplier for cooperative matrices”. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques. 6th ser. 31.4, pp. 1213–1221. doi: 10.5802/afst.1716. url: https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1716/. Carmona, Philippe and Sylvain Gandon (2020). “Winter is coming: pathogen emergence in seasonal environments”. In: PLoS Comput. Bio. 16.7. url: https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1007954. Chabas, Hélène et al. (Sept. 2018). “Evolutionary emergence of infectious diseases in heterogeneous host populations”. In: PLOS Biology 16.9, pp. 1–20. doi: 10.1371/journal.pbio.2006738. url: https://doi.org/10.1371/journal.pbio.2006738. Kurtz, Thomas G. (1977/78). “Strong approximation theorems for density dependent Markov chains”. In: Stochastic Processes Appl. 6.3, pp. 223–240. issn: 0304-4149. doi: 10.1016/0304-4149(78)90020-0. url: https://doi.org/10.1016/0304-4149(78)90020-0. Lion, Sébastien and Sylvain Gandon (2022). “Evolution of class-structured populations in periodic environments”. In: bioRxiv. doi: 10.1101/2021.03.12.435065. eprint: https://www.biorxiv.org/content/early/2022/01/20/2021.03.12.435065.full.pdf. url: https://www.biorxiv.org/content/early/2022/01/20/2021.03.12.435065.

Many functions of interest exhibit weighted summability of the coefficients with respect to some dictionary of basis functions. This property allows us to derive close-to-optimal best n-term approximation rates by means of a new weighted version of Stechkin’s Lemma. It is well known that these best n-term approximations can be estimated efficiently from samples. In fact, highly refined sample complexity results guarantee quasi-best n-term approximations with high probability. But the algorithm that perform this approximation have a time complexity that is linear in the size of the dictionary of basis functions. This is problematic, since this size typically grows rapidly when the dimension of the sought function increases. To bypass this issue, we propose to encode the coefficients in a simultaneously sparse and low-rank tensor format. Compared to a direct sparse approximation, the resulting sparse tensors trees have the advantage that we can use a large (tensor product) dictionary with a manageable time complexity. We transfer the close-to-optimal sample complexity results of the classical weighted sparse vectors to our new model class of sparse and low-rank tensors. For this we utilise a novel result that allows us to transfer the restricted isometry property from one set to another that is sufficiently close to the first one.

La plupart des processus environnementaux (intempéries, température, vent...) sont spatiaux par nature et la modélisation de leurs extrêmes nécessite de prendre en compte cette caractéristique. Souvent, on peut également rattacher à ces processus extrêmes environnementaux un autre process, à valeur angulaire (rafales de vent et leurs directions, forte intempéries et leur jour d’occurrence...). Dans cette présentation, je présenterai une nouvelle approche statistique pour la modélisation jointe de processus spatiaux extrêmes et angulaire, ainsi que des résultats et applications sur l’efficacité de cette approche.

References:

• Bayesian spatial modeling of extreme precipitation return levels. Cooley, Nychka and Naveau (2007). JASA.
• Modeling space and space-time directional data using projected gaussian processes. Gelfand and Wang (2014). JASA.

Hidden Markov models (HMMs) are flexible tools for clustering dependent data coming from unknown populations, allowing nonparametric modelling of the population densities. Identifiability fails when data are in fact independent, and we study the frontier between learnable and unlearnable two-state nonparametric HMMs. Interesting new phenomena emerge when the cluster distributions are modelled via density functions (the `emission' densities) belonging to standard smoothness classes compared to the multinomial setting [1]. Notably, in contrast to the multinomial setting previously considered, the identification of a direction separating the two emission densities becomes a critical, and challenging, issue. Surprisingly, it is possible to "borrow strength" from estimators of the smoothest density to improve estimation of the other. We conduct precise analysis of minimax rates, showing a transition depending on compared smoothnesses of the emission densities.

Dans ce séminaire, nous parlerons d'un extension d'un modèle répulsif. Un polymère est placé dans un champ magnétique faiblement répulsif. Nous étudierons son interaction en fonction de la distance entre deux interfaces répulsives - pensez à une distance d'interfrange, https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/optique/young/young.html en contient quelques unes -, et de la pénalité qu'il reçoit à toucher une interface. Nous présenterons nos résultats sur ce modèle.

References: Francesco Caravenna and Nicolas Pétrélis. Depinning of a polymer in a multi-interface medium." Electron. J. Probab. 14 2038 - 2067, 2009. https://doi.org/10.1214/EJP.v14-698

Nous présenterons la notion de noyau de Stein, qui permet de généraliser la formule d'intégration par partie pour la loi normale (qui possède un noyau de Stein constant, égal à sa covariance). Nous nous focaliserons dans un premier temps sur la dimension 1 où, sous de bonnes conditions, le noyau de Stein possède une formule explicite. Nous verrons que le noyau de Stein apparaît naturellement comme pondération d'une inégalité de type Poincaré et qu'il permet d'obtenir des inégalités de concentration précises, de type ratio de Mills. Dans une seconde partie, nous travaillerons en dimension supérieure, en étudiant notamment comment la notion de noyau de Stein permet de décrire la performance de l'estimateur de shrinkage, sans l'hypothèse classique de données Gaussiennes. Cette présentation se base notamment sur des travaux en collaboration avec Max Fathi, Larry Goldstein, Gesine Reinert et Jon Wellner.

Pour se préparer : https://arxiv.org/pdf/2004.01378.pdf (Relaxing the Gaussian assumption in shrinkage and sure in high dimension) https://arxiv.org/pdf/1804.03926.pdf (Weighted Poincaré inequalities, concentration inequalities and tail bounds related to Stein kernels in dimension one)

Abstract

I will talk about several properties of stationary solutions of fractional SDEs. I will first recall some seminal results by Hairer (2005) on the construction of stationary solutions and associated ergodic results. Then, I will focus on a recent paper with Xue-Mei Li and Julian Sieber where we prove smoothness and Gaussian bounds for the density of the related invariant distribution (under appropriate assumptions) in the additive case. The proofs are based on a novel representation of the stationary density in terms of a Wiener-Liouville bridge, which proves to be of independent interest: We show that it also allows to obtain Gaussian bounds on the non-stationary density, which extend previously known results in the additive setting. Avoiding any use of Malliavin calculus in our arguments, our results are obtained under minimal regularity requirements.

References

Li, X. M., Panloup, F., & Sieber, J. (2022). On the (Non-) Stationary Density of Fractional-Driven Stochastic Differential Equations. arXiv preprint arXiv:2204.06329.

In this talk we will discuss the approximation to nonlinear dispersive equations, which asks for low-regularity assumptions on the initial data, both for deterministic and random initial data.

We will put forth a novel time discretization to the nonlinear Schrödinger equation, allowing for a low-regularity approximation, while maintaining good long-time preservation of the mass density and energy on the discrete level.

Higher order extensions will be presented, following new techniques based on decorated tree series expansions, inspired by singular SPDEs.

Nous considérons un modèle bidimensionnel d'une marche aléatoire en auto-interaction, soumise à un accrochage le long d'un mur dur horizontal. Lorsque l'intensité de l'auto-interaction est suffisamment grande, le système entre dans une phase effondrée à l'intérieur de laquelle la marche aléatoire se replie sur elle-même pour former une boule compacte comprise entre une enveloppe supérieure et une enveloppe inférieure. Une particularité de ce modèle est que cette phase effondrée peut être divisée en deux régimes séparés par une courbe critique explicite. Ainsi, lorsque l'intensité de l'accrochage est faible, l'enveloppe inférieure s'éloigne du mur dur, tandis qu'elle est accrochée le long de la paroi dès que l'intensité de l'accrochage est suffisamment forte. Dans le cadre de cet exposé, nous nous concentrerons sur cette dernière transition.

References:

• https://projecteuclid.org/journals/annals-of-probability/volume-50/issue-4/Surface-transition-in-the-collapsed-phase-of-a-self-interacting/10.1214/22-AOP1567.full
• https://arxiv.org/abs/2007.11313