Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

La géométrie dérivée est un enrichissement de la géométrie classique avec des structures différentielles graduées dans le but de surmonter certaines limitations de la géométrie classique. Dans le cas de la géométrie complexe, il existe deux modèles : l'un développé par Lurie et Porta et l'autre développé par Pridham. Le but de cet exposé est de présenter une troisième direction basée sur la description des variétés complexes comme des structures presque complexes intégrables. Nous nous focaliserons sur le cas des variétés complexes formelles et nous exposerons un lien avec le modèle de Pridham.

Les surfaces del Pezzo et leurs groupes d'automorphismes jouent un rôle clé dans la classification, à conjugaison près, des sous-groupes du groupe de Cremona du plan projectif. Sur un corps algébriquement clos, elles sont complètement classifiées, de même que le sont leurs groupes d'automorphismes. En particulier, il existe une unique classe d'isomorphismes de surfaces del Pezzo de degré 5 sur un corps algébriquement clos. Nous nous intéresserons dans cet exposé aux surfaces del Pezzo de degré 5 définies sur un corps parfait, auquel cas il existe beaucoup de surfaces supplémentaires. Nous expliquerons comment l'étude de l'action du groupe de Galois sur le graphe des (-1)-courbes nous permet de donner une description par générateurs de leurs groupes d'automorphismes en termes d'automorphismes et de transformations birationnelles.

Dans un travail en commun avec Anna Florio et Barbara Schapira, nous montrons l'existence d'une mesure d'entropie maximale pour les flots d'une classe de dynamiques que nous appelons les H-flots sous une hypothèse de contrôle de l'entropie à l'infini. Ces flots peuvent être vus comme une généralisation des flots Anosov sur les variétés non compactes et comprennent les flots géodésiques à courbure négative pincée. Ce résultat généralise les résultats de Gouëzel, Schapira et Tapie pour les flots géodésiques.

L'objectif de cet exposé est de présenter l'énoncé de ce résultat d'existence tout en expliquant et motivant la définition de H-flot et l'hypothèse de contrôle de l'entropie à l'infini (appelée hypothèse SPR).

Un objet d'étude fondamental en algèbre homologique et homotopique est l'adjonction bar-cobar entre algèbres et cogèbres, reflet algébrique des espaces classifiants et espaces de lacets en topologie depuis les travaux d'Adams, Stasheff et May notamment. Cette dualité a été regroupée avec d'autres variantes sous l’appellation "dualité de Koszul" et généralisée dans un cadre opéradique. La dualité de Koszul joue un rôle fondamental en topologie, que ce soit dans la construction d’invariants, de résolutions, ou l’étude infinitésimale des problèmes de déformations.

Une approche récente due à Lurie implémente une forme de dualité de Koszul adaptée à un cadre purement infini-catégorique et généralisée par Ayala-Francis aux En-algèbres (algèbres sur les opérades des petits disques). Ce cadre a ouvert la voie à de nombreuses applications, parmi elles le développement de l'homologie de factorisation qui permet d'intégrer des En-algèbres sur des variétés pour produire de puissants invariants topologiques. Ces outils sont également devenus incontournables en géométrie algébrique dérivée où de nombreux espaces de modules (typiquement des espaces de modules de fibrés, des variétés de caractères ou des intersections lagrangiennes) possèdent des structures symplectiques et de Poisson décalées paramétrées par ce type d’algèbres.

Ces deux formes de dualité de Koszul sont pourtant incompatibles à première vue : l’une impose la conilpotence et l’autre non, les foncteurs ne sont pas adjoints dans le même sens, les catégories de cogèbres considérées ne sont pas homotopiquement équivalentes. Quels liens y a-t-il alors entre les constructions classiques de la topologie algébrique et les constructions infini-opéradiques ci-dessus ? A-t-on des modèles explicites "point-set" de la dualité d’Ayala-Francis-Lurie ? On apporte ici des réponses précises à ces questions, dans un travail en commun avec Dan Petersen et Victor Roca i Lucio. Cela ouvre la voie à des applications dans les domaines susmentionnés. Si le temps le permet, j'évoquerai quelques perspectives autour de la quantification en géométrie de Poisson dérivée.

Le célèbre théorème de localisation en cohomologie équivariante nous dit qu’on peut récupérer la cohomologie de l’ensemble des points fixes de l’action d’un tore sur une variété fermée en regardant la structure de H*(BT)-module des groupes de cohomologie équivariante. Le but de cet exposé est d’expliquer un résultat analogue en cohomologie de Floer Lagrangienne et donner des applications.

Introduite par Haiden, Katsarkov et Kontsevich, la catégorie de Fukaya topologique d'une surface marquée graduée est un analogue élémentaire de la catégorie de Fukaya partiellement enroulée. Les algèbres aimables apparaissent naturellement dans ce contexte comme anneaux d'endomorphismes de générateurs formels. Des travaux d'Opper, Plamondon et Schroll ont montré que la surface sert également de modèle géométrique pour la catégorie dérivée de l'algèbre aimable. Cela a conduit au développement de nouveaux outils pour l'étude de sa théorie des représentations, notamment par l'établissement d'un invariant dérivé complet.

Dans cet exposé, je présenterai la classe des algèbres aimables contractées et expliquerai comment celles-ci apparaissent comme anneau d'endomorphismes de générateurs formels de quotient $A_{\infty}$ de catégories de Fukaya topologiques. Je montrerai ensuite comment les surfaces marquées graduées avec singularités coniques servent de modèles géométriques pour leurs catégories dérivées, en classifiant les objets indécomposables en termes de courbes graduées.

The study of complex structures on Lie groups provides a natural bridge between algebra, geometry, and complex analysis. In this talk, we focus on Lie algebras endowed with left-invariant complex structures, and on how these structures behave under degenerations and deformations.

A central question is how to understand the possible “limits” of such structures and which features remain stable under these processes. To address this, we introduce certain invariants that are well adapted to degenerations while preserving the complex structure.

We illustrate these ideas in the four-dimensional case, where a more concrete picture can be obtained.

Un des premiers problèmes de Géométrie Énumérative étudiés fut le comptage de droites dans hypersurfaces génériques. Par example, on sait qu’une surface cubique générique dans l'espace projectif tridimensionnel contient 27 droites sur le corps des nombres complexes. Dans cet exposé, on se propose d’étudier ce problème sur d'autres corps. La première question à examiner dans ce cas est « comment obtenir des réponses indépendantes de l’hypersurface? ». Sur les nombres réels, chaque droite doit être comptée avec un signe +1 ou -1. En général, les signes deviennent des formes quadratiques. La deuxième question apparaît naturellement: quelle est l’interprétation géométrique de ces formes quadratiques? On explique comment répondre à cette question pour presque tous les corps en généralisant des idées de Finashin et Khalarmov sur les nombres réels. Ce travail est en collaboration avec Sabrina Pauli et Stephen McKean.

Étant donnée une fonction de Morse sur une variété lisse M, il est possible d'avoir une description combinatoire de son groupe fondamental. On appelle cette construction le groupe fondamental de Morse. Motivé par une construction similaire d'un "groupe fondamental de Floer" par Jean-François Barraud pour les variétés symplectiques, et de l'importance des "morphismes de continuation" dans ce domaine, j'expliquerai dans cet exposé la construction de morphismes de continuation pour le groupe fondamental, comment ils diffèrent de leurs analogues homologiques, et comment ces morphismes peuvent nous donner des propriétés de fonctorialité et d'invariance.