Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

L'homologie de Heegaard Floer est un invariant de variétés de dimension trois closes défini par une homologie de Floer d'intersection lagrangienne dans le produit symétrique d'une surface de Heegaard. Je montrerai que à toute variété à bord on peut associer un objet dans l'enveloppe triangulé de la catégorie de Fukaya compacte d'un produit symétrique du bord et que, étant donnée une variétés de dimension trois séparée en deux morceaux par une surface, son homologie de Heegaard Floer est isomorphe à l'homologie des morphismes entre les objets associés aux deux morceaux. Comme application, je montrerai que la mutation de genre deux ne change pas l'homologie de Heegaard Floer. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Ina Petkova.

Travail en commun avec Nicolas Vichery.

Dans les années 90 Claude Viterbo a introduit des "invariants spectraux" pour une lagrangienne exacte L dans le cotangent d'une variété compacte M et, à partir de ces invariants, une norme pour L. Il a aussi conjecturé que, si on munit M d'une métrique et que L est dans le fibré en boules de rayon 1 du cotangent, alors la norme spectrale de L est bornée indépendamment de L (au moins si M est un tore).

J'expliquerai une preuve de cette conjecture lorsque M est un quotient d'un groupe de Lie compact. Notre méthode utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara-Schapira et une bonne partie de l'exposé sera une présentation de cette théorie et de ses liens avec la géométrie symplectique.

Dans cet exposé, on montrera que toute variété algébrique réelle contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d dont les nombres de Betti croissent de l'ordre maximal, lorsque le degré d tend vers l'infini. L'existence de telles hypersurfaces est obtenue à l'aide de techniques probabilistes.

Après une introduction de certaines définitions de la géométrie de contact, je discuterai des résultats quantitatifs pour les nœuds et les sous-variétés legendriens comme la convergence C^0 et la non-compression. Travail en commun avec Georgios Dimitroglou Rizell.

Soit C l’espace de modules des hypersurfaces cubiques lisses de dimension 4. Dans cet exposé on introduira la cubique universelle au dessus de C, et on étudiera la géométrie birationnelle de sa restriction à certains lieux spéciaux contenus dans C. Notamment, en utilisant des résultats récents de Farkas-Verra et plus classiques de Mukai, nous prouverons que la cubique universelle au dessus des diviseurs de Hassett (que je vais introduire!) C(14),C(26) et C(42) est unirationnelle. Le résultat dépend fortement de l’existence des surfaces K3 associées à ces cubiques, et de la géométrie birationnelle des espaces de modules de ces surfaces.

En suivant les conjectures de Campana sur les variétés « spéciales », nous discuterons les propriétés topologiques des variétés avec beaucoup de points rationnels sur les corps de fonctions. Travail en commun avec A. Javanpeykar.

I will present my recent joint work with J. F. de Bobadilla, proving that a family of isolated hypersurface singularities with constant Milnor number has constant multiplicity. The key idea is to endow the A'Campo model of "radius zero" monodromy with a symplectic structure. More precisely, I will construct a smooth manifold, fibered over an annulus, together with a fiberwise symplectic form such that the following holds. Over the outer circle ("positive radius"), we get the usual Milnor fibration. In turn, over the inner circle ("radius zero"), the symplectic monodromy has very simple dynamical properties.

En géométrie énumérative, les invariants de Gromov–Witten et de Welschinger sont connus pour être des outils très puissants pour étudier le comptage de courbes (complexes et réelles) passant par une contrainte générique dans les variétés projectives. Alors que ces invariants dans les variétés de dimension deux ont été systématiquement étudiés ces dernières années, de nombreuses études dans le cas de dimension trois restent à explorer, en mettant l'accent sur le cas réel. Dans cet exposé, je présente une adaptation d'une stratégie proposée par Brugallé–Georgieva en 2016 pour calculer ces deux invariants de l'espace projectif aux variétés del Pezzo de dimension 3.

La diagonale ensembliste d'un polytope a le défaut rédhibitoire de ne pas être cellulaire: son image n'est pas une union de faces. On est donc amené à chercher une approximation cellulaire de la diagonale. Une telle approximation, dans le cas des simplexes et des cubes, est d'une importance fondamentale en topologie algébrique, car elle permet de définir le produit cup en cohomologie. Je présenterai dans cet exposé une méthode générale, issue de la théorie des polytopes de fibres développée par Billera et Sturmfels, qui permet de résoudre ce problème pour toute famille de polytopes.

L'homologie de contact Legendrienne est un invariant qui permet de déterminer si deux Legendriennes sont isotopes ou non. Cependant, son domaine d'application est bien plus vaste. Elle a par exemple été utilisée par Bourgeois, Ekholm et Eliashberg pour calculer des invariants symplectiques des domaines de Weinstein. Dans cet exposé, je relierai l'algèbre A-infty de Floer d'une Lagrangienne exacte à l'algèbre différentielle de Chekanov-Eliashberg (dont l'homologie est l'homologie de contact Legendrienne) de son relevé Legendrien dans la contactization circulaire. Je présenterai l'idée de la preuve, qui consiste à exprimer le dual de Koszul de l'algèbre de Chekanov-Eliashberg comme colimite homotopique d'un diagramme de catégories A-infty.