Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Pour tout objet x dans une catégorie C il est possible de définir la catégorie des modules de Beck au-dessus de x, comme la catégorie Ab(C/x) des objets en groupe abélien de la catégorie C/x. Nous pouvons en déduire, au moins pour toute catégorie localement présentable, la notion de module cotangent ou de module des différentielles Ω de x dans Ab(C/x). Dans le cas de la catégorie k-Alg des k-algèbres commutatives au-dessus d’un anneau k, la catégorie des modules de Beck Ab(k-Alg/A) au-dessus d’une k-algèbre A est équivalente à la catégorie A-Mod des A-modules et le module des différentielles est égal au module des différentielles de Kähler de A.

Many partial differential equations are encoded by proper Fredholm maps between (infinite dimensional) Hilbert spaces. By the Pontryagin-Thom construction these maps correspond to finite dimensional framed submanifolds. This gives a connection between finite and infinite dimensional topology.

In this talk, I will use this relation to classify proper Fredholm maps (up to proper homotopy) between Hilbert spaces in terms of the stable homotopy groups of spheres. This is based on joint work with Thomas Rot.

La notion d'algèbre de pre-Calabi-Yau a été introduite récemment par M. Kontsevich et Y. Vlassopoulos. Elle est très liée à deux notions plus anciennes : la notion d'algèbre de Calabi-Yau et la notion d'algèbre A-infinie. On s'intéressera dans cet exposé au lien avec cette dernière dont on donnera une description venant de la géométrie noncommutative. Je présenterai également plusieurs résultats récents concernant les algèbres de pre-Calabi-Yau, connus depuis longtemps dans le cas des algèbres A-infinies, tels que l'existence de modèles minimaux et la quasi-inversibilité des quasi-isomorphismes.

Positive Legendrian torus knots in the standard contact 3-sphere were classified by J. Etnyre and K. Honda around 20 years ago via Giroux' Convex Surface Theory. Nowadays, we have tools to deal with convex surfaces “parametrically” so we can attempt to determine the homotopy type of some path-connected component of the space of Legendrian embeddings. In this talk I will explain how to do this for positive Legendrian (p,q)-torus knots with max tb number. This is joint work (in progress) with Hyunki Min.

Soit M une 4-variété asphérique, c'est à dire que son revêtement universel est contractile. Une conjecture de Singer implique que, pour une telle M, la signature est bornée par la caractéristique d'Euler. Je parlerai de cette inégalité pour les 4-variétés qui admettent une décomposition géométrique à la Hillman, un analogue 4-dimensionnel de la décomposition de Jaco-Shalen-Johnson en dimension 3. Je discuterai ainsi quelques exemples qui sortent de cette exploration. Il s'agit d'un travail en cours avec Luca F. Di Cerbo.

Étant donné un schéma symplectique dérivé (-1)-décalé $X$ avec une donnée d'orientation convenable, Brav-Bussi-Dupont-Joyce-Szendroi (BBDJS) construisent par recollement un faisceau pervers globalement défini sur $X$ dont la caractéristique d'Euler calcule les invariants de Donaldson-Thomas tels que décrits par K. Behrend. Cette construction est basée sur un théorème de Darboux: localement les schémas (-1)-symplectiques sont des lieux critiques dérivés d'une fonction $f$ sur un schéma lisse $U$. Dans cet exposé, je présenterai un travail en cours avec B. Hennion et J. Holstein où on propose une stratégie pour recoller sur $X$ un faisceaux de catégories de factorisation matricielles, localement de la forme $MF(U,f)$.

Une variété définie sur le corps des nombres réels est dite maximale si l'inégalité de Smith-Thom est une égalité, i.e. la somme des nombres de Betti (à F_2-coefficient) du lieu réel est égale à celle du lieu complexe. Je présenterai plusieurs constructions de variétés réelles maximales en prenant certains espaces de modules des cycles ou des faisceaux sur une variétés de petite dimension. Les exemples comprennent notamment les espaces de modules des fibrés (usuels, paraboliques, ou de Higgs) stables sur une courbe réelle maximale, les schémas de Hilbert des points d'une surface rationnelle maximale etc. L'exposé est basé sur mon travail récent arXiv: 2303.03368.

Le célèbre théorème de non-squeezing de Gromov en topologie symplectique semblerait à première vue ne pas avoir d'analogue possible en topologie de contact : en effet, on peut notamment tasser par des isotopies de contact n'importe quel domaine de l'espace euclidien R^{2n+1} dans un voisinage arbitrairement petit d'un point. Cependant, en 2006 Eliashberg, Kim et Polterovich ont découvert un phénomène de non-squeezing pour la variété de contact R^2n x S^1 : ils ont montré (en utilisant des techniques de théorie symplectique des champs) que pour chaque nombre entier k il n'existe pas d'isotopie de contact qui envoie le produit d'une boule de R^2n de capacité plus grande de k avec S^1 dans le produit d'une boule de capacité plus petite de k avec S^1.

La persistance à un paramètre est l’un des outils centraux de l’analyse topologique de données. Elle permet de construire des descripteurs de nature combinatoire, appelés codes-barres, encodant certaines propriétés topologiques des nuages de points formés par les données. Ces descripteurs sont généralement obtenus en associant un espace filtré aux données dont en prend la cohomologie singulière. Dans ce contexte on dispose de distances sur ces objets pouvant se calculer de façon effective.

Le premier objectif de cet exposé sera d'introduire le monde dendroidal, qui généralise le monde simplicial. Au lieu de travailler avec la catégorie Delta, nous travaillerons avec la catégorie Omega, une catégorie d'arbres introduite par Moerdijk et Weiss. Les préfaisceaux sur Delta sont appelés ensembles dendroidaux et généralise les ensembles simpliciaux. J'expliquerai ensuite comment les opérades et les infini-opérades apparaissent dans ce contexte. Dans une seconde partie, j'introduirai une notion d'homologie pour les infini-opérades, via une construction bar. Ceci est un travail en commun avec Ieke Moerdijk