Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans cet exposé, je vais vous raconter comment à des polytopes suffisamment sympathiques et à d'autres objets combinatoires on a associé des variétés complexes qui leur ressemblent, comment cela a permis d'élucider des propriétés remarquables de ces objets via la théorie de Hodge classique (qui étudie la structure cohomologique des variétés complexes), comment, lorsque ces objets ne sont plus si sympathiques, il a fallu développer la théorie de Hodge combinatoire en faisant comme si une variété complexe adéquate était associée à ces objets, et comment, en réalité, on peut bien leur associer une variété adéquate mais une variété tropicale. Ce sera l'occasion de (re)découvrir polytopes, variétés toriques, matroïdes, éventails, théories de Hodge, hypercorps tropical, etc.

In this talk I will explain a work in progress, joint with Baldur Sigurdsson, in which we explore an idea by A'Campo. An explicit collapsing map is constructed for each isolated hypersurface singularity using a natural connection depending on the ambient metric. The preimage of the singular point by the collapsing map yields, on each Milnor fiber, a piecewise linear spine. The combinatorics and the properties of this spine are analyzed by means of a vector field which is defined on the boundary of the real oriented blow-up of a resolution of the singularity that also resolves the polar curves. At the moment, we deal with the case of isolated plane curve singularities.

La première partie de cet exposé sera consacrée à une introduction aux catégories de Fukaya et à la symétrie miroir homologique, en considérant le cas des surfaces. Après des exemples élémentaires (cylindre et pantalon), on considérera les décompositions le long de cylindres (thèse de Heather Lee) pour arriver à un résultat de symétrie miroir général. On esquissera enfin une description des catégories de Fukaya de surfaces singulières que l'on peut considérer comme les miroirs de surfaces de Riemann (travail en collaboration avec Efimov et Katzarkov).

Introduite par Toën en 2013, l'action de membranes associe à toute ∞-opérade cohérente O une structure de O-algèbre sur l’espace des extensions de l’identité. Pour certaines ∞-opérades d'origine géométrique, cette construction abstraite reproduit des structures algébriques importantes. Par exemple, appliquée à l'opérade des petits disques de dimension n, l'action de membranes reproduit une partie des opérations algébriques sur les espaces de morphismes depuis la sphère de dimension n-1, tel qu'étudié en topologie des cordes.

Dans cet exposé, après avoir défini le champ de Teichmüller d'une variété compacte complexe, je m'interrogerai sur les pathologies qu'il peut exhiber et qui en font un objet parfois très éloigné d'un espace analytique. Grâce à la dualité de points de vue que permet le formalisme des champs, ces pathologies sont également des pathologies des familles de variétés complexes. Il s'agit d'un travail en cours.

One of the central questions of random algebraic geometry is to describe the expected behaviour of randomly chosen algebraic varieties. In this talk I wish to explain two results concerning plane algebraic curves randomly chosen with respect to Kostlan distribution. The first of these results is about the expected depth of nested ovals of a random real algebraic plane curve. The second is about the expected area of the amoeba of a random complex algebraic plane curve. Both results are based on joint work with Turgay Bayraktar.

Partitioned braid groups (sometimes called "mixed braid groups") are subgroups of the braid group standing between the pure braid group Pn and the whole braid group Bn. On the one hand, the lower central series of Bn is almost trivial. On the other hand, the lower central series of Pn is a very rich object, encoding finite type invariants of braids. As a consequence, one can expect partitioned braid groups to display a range of intermediate behaviors, and this is indeed what we observe. In this talk, we will explore these different behaviours and give an answer to the first question one can ask about these lower central series: when do they stop? Even this simple question turns out to be a difficult one, especially when one considers its generalization to braids on surfaces.

We will discuss real algebraicity of links and open books and how to obtain overtwisted structures in a real algebraic way.

Je parlerai de feuilletages symplectiques, et plus précisément de leur sous classe de ceux qui s’appellent "forts". Ces objets semblent plutôt rigides, puisque les techniques de courbes pseudo-holomorphes et de sections asymptotiquement holomorphes marchent très bien avec eux. Je présenterai un (en cours) en collaboration avec Klaus Niederkrüger et Lauran Toussaint qui donne une nouvelle obstruction pour qu'un feuilletage symplectique soit fort. Plus précisément, cette obstruction est une version symplectique des cycles évanouissants pour les feuilletages lisses, et elle a un fonctionnement similaire au Plastikstufe introduit par Niederkrüger '06 dans le cas des structures de contact.

The interleaving distance is a canonical pseudo-distance for persistence modules and plays an essential role in topological data analysis. After the pioneering work by Curry, Kashiwara and Schapira introduced the interleaving distance on the category of sheaves and studied its stability property. In this talk, I will explain that we can use this distance for sheaves to get a lower bound of the Hamiltonian displacement energy in a cotangent bundle through its stability with respect to Hamiltonian deformations. I would also like to explain our recent result on the completeness of the distance and its application to C^0-symplectic geometry. Joint work with Tomohiro Asano.