Après une présentation des invariants de legendriennes à bord, incluses dans une variété de contact à bord suturé, je traiterai deux exemples issus de la construction conormale, illustrant les liens entre invariants topologiques et invariants de contact. Tout d'abord, je montrerai que l'homologie d'une fibre dans le complémentaire du conormal d'un noeud hyperbolique détermine le noeud. Si le temps le permet, j'exposerai aussi le cas des 2-tresses locales, qui sont déterminées par leurs conormaux.

Dans ${\mathbb R}^2$, deux espaces BMO peuvent être considérés, l'espace à 1 paramètre (basé sur des cubes ou des boules) et l'espace à 2 paramètres (basé sur des rectangles). Ces espaces jouent un rôle important dans l'étude des opérateurs singuliers et constituent des espaces limite adéquat pour l'échelle des espaces de Lebesgue $L^p$ quand $p\to \infty$. En effet, par rapport à $L^\infty$, ils ont l'avantage de se comprendre via un point de vue fréquentiel et une analyse temps-fréquence.

Si l'espace a 1 paramètre est bien compris et notament peut être conjugué aux rotations et plus généralement à n'importe quelle application bi-Lipschitz, c'est beaucoup moins clair pour l'espace biparamètrique. Nous expliquerons pourquoi la structure des rectangles, de l'espace BMO biparamètrique, n'est pas compatible avec la composition par une rotation et nous décrirons une inégalité qui permet de quantifier cela.

Ceci est un travail en collaboration avec Yujia Zhai.

Titre court pour une vaste série de questions. Étant donné A et B deux objets (sous-variétés, polyèdres, ensembles stratifiés) dans une variété M, trouver une isotopie ambiante (par exemple un flot) qui mette A immédiatement en position transverse à B ; le cas A = B est permis. Je rappellerai d’abord ce que dit René Thom sur la transversalité, à savoir sa « généricité ». Puis je dirai ce que je sais faire sur cette nouvelle question. Je conclurai en expliquant brièvement d'où elle vient.

We study the inverse design of one-dimensional Burgers equation which consists of identifying the set of initial data evolving to a given target at a final time. This leads to an ill-posed backward Cauchy problem. On one hand, the given target may be unreachable along forward entropic evolution or there exist multiple initial data leading to the same given target. The two main results are the follows A wave-front tracking method is implemented to identify randomly all the possible initial data yielding entropy solutions that coincide with a given target at time T. When the target function uT is unreachable, we fully characterize the set of initial data generating entropy solutions leading as close as possible to the given target uT in L2-norm.

Je vais rappeler la cohomologie des algèbres de Lie semi-simples complexes. Je vais ensuite parler de la cohomologie d'algèbres de Leibniz et de celle des algèbres de Leibniz semi-simples (travail en commun avec Jörg Feldvoss, 2019). Je vais terminer par la conjecture de Pirashvili (possible caractérisation cohomologique des algèbres de Lie semi-simples) et de nos efforts (infructueux) avec Dietrich Burde de la montrer. Cela nous a mené vers une meilleure compréhension des algèbres de Lie sympathiques (i.e. parfaites, sans centre avec toutes les dérivations intérieures).

Le polynôme de Jones et ses généralisations coloriées utilisent seulement les représentations du sl(2) quantique de poids entiers. Ce groupe quantique spécialisé aux racines de l'unité a beaucoup d'autres représentations irréductibles. Nous expliquerons le lien entre les caractères de ces algèbres de Hopf et le groupe SL2(C). Nous présenterons la construction d' invariants pour les compléments d'entrelacs munis d'une SL2(C) connexion plate générique enrichie. Travail en commun avec Nathan Geer, Bertrand Patureau et Kolya Reshetikhin (Selecta Mathematica volume 26 (2020), arXiv:1806.02787).

In this talk I will discuss infinite-type surfaces (e.g. surfaces of infinite genus). I will show how infinite-type surfaces can be seen as subsurfaces of themselves in a nontrivial way, how to use this fact to select a class of arcs on a surface and to construct a graph with an interesting action by the group of symmetries of the surface (the so-called mapping class group). Joint work with Tyrone Ghaswala and Alan McLeay.

Dans les années 80 Nikulin a classifié tous les groupes abéliens finis qui agissent symplectiquement sur une surface K3 et ses résultats ont inspiré une étude intensive des groupes d'automorphismes finis des surfaces K3. Mukai a montré que l'ordre maximal d'un groupe fini qui agit symplectiquement sur une surface K3, i.e. qui agit trivialement sur la 2-forme holomorphe, est 960 et que le groupe est isomorphe au groupe de Mathieu $M_{20}$. Ensuite Kondo a montré que l'ordre maximal d'un groupe fini quelconque qui agit sur une surface K3 est 3840 et que ce groupe contient le groupe de Mathieu avec indice quatre. Kondo a montré aussi qu'il y a une unique surface K3 qui admet l'action de ce groupe : il s'agit d'une surface de Kummer. Dans l'exposé je présenterai des résultats récents sur les groupes finis qui agissent sur une surface K3 et qui contiennent strictement le groupe de Mathieu. Je montrerai qu'il y a exactement trois groupes et trois surfaces K3 avec cette propriété. Il s'agit d'un travail en commun avec C. Bonnafé.