L'érosion hydrique est un phénomène naturel qui représente un risque important pour les espaces agricoles et les zones situées à l'aval: pertes en terre, coulées de boue, turbidité et pollution des eaux. L'érosion des sols résulte de nombreux processus qui jouent au niveau de trois phases: le détachement des particules, le transport solide et la sédimentation. La modélisation de ces processus se situe aux interfaces de domaines scientifiques variés et nécessite une approche multidisciplinaire. Le modèle à base physique, basé sur le principe de conservation, est reconnu comme un outil efficace pour prédire ce phénomène. L'objectif global de ce travail est d'étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d'érosion à l'échelle du bassin versant.
Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche aux méthodes Volumes Finis d'ordre très élevé pour les systèmes de lois de conservation que j'ai développée durant ma thèse. Dénommée MOOD pour Multi-dimensional Optimal Order Detection, elle se base sur un traitement a posteriori (par décrémentation locale de l'ordre du schéma) des problèmes numériques engendrés par l'ordre élevé (phénomènes de Gibbs, création de valeurs non physiques...) contrastant ainsi avec les limitations a priori des méthodes classiques MUSCL ou WENO. Cette
approche permet d'obtenir facilement des propriétés qui sont habituellement difficiles à prouver dans le cadre multi-dimensionel non-structuré (préservation de la positité par exemple). Pour finir je montrerai un ensemble de tests numériques 2D et 3D qui ont démontré la qualité de la méthode MOOD et son gain en termes de ressources informatiques (CPU et mémoire) par rapport aux méthodes déjà existantes.
Afin de déterminer le rang d'une matrice inconnue, on peut tester si elle est de rang m ou plus (pour m=0,1,....). Possédant un estimateur de la matrice, on utilise une statistique égale à la distance entre l'estimateur et la sous-variété des matrices de rang m. La loi asymptotique d'une telle statistique, sous certaines conditions, est un chi2 pondéré. Un test statistique classique compare la valeur de la statistique à un quantile de sa loi asymptotique afin de rejeter ou non l'hypothèse nulle. Une deuxième possibilité est de comparer la statistique à un quantile calculé par bootstrap. Cette deuxième option est préférable car bien souvent la loi de la statistique est plus proche de sa loi bootstrap que de sa loi asymptotique (voir par exemple livre de P. Hall, Bootstrap and Edgeworth expansion).
Dans le cas de l'estimation de rang, les statistiques utilisées résultent d'une optimisation sous contrainte et il n'existe pas de procédure bootstrap générale. Nous présentons, dans un premier temps, le bootstrap contraint qui est une méthode permettant de reproduire la loi d'estimateurs contraints. En particulier, nous démontrons la consistance du test d'appartenance à une sous-variété sous des hypothèses aussi faibles que celles nécessaires au test classique. Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'estimation du rang d'une matrice par test d'hypothèse. Plus précisément, on applique les résultats de la première partie afin d'obtenir le bootstrap de trois statistiques issues de cette littérature. Enfin nous proposons une application à la réduction de la dimension en régression. (Travail en collaboration avec Bernard Delyon.)
Titre : Theory and applications of reaction-diffusion equations
Reaction-diffusion equations describe numerous applications, such as flame propagation, tumour growth or competition of species
in population dynamics. After a short introduction to the theory of reaction-diffusion equations, we will discuss reaction-diffusion
waves in more detail. From the mathematical point of view, they represent solutions of elliptic boundary value problems in unbounded
domains. The classical theory of elliptic partial differential equations will be recalled and some recent developments will be presented.
On construit des graphes entiers et anneaux dans H^2xR de courbure moyenne
constante 1/2 par déformation d'exemples de révolution. Ces déformations
viennent avec un contrôle du comportement asymptotique.
Les graphes entiers vérifient une propriété de demi-espace dont on déduit
un résultat d'unicité par rapport au comportement asymptotique.
D'autre part, on obtient l'existence d'anneaux asymptotiquement de
révolution mais dont les bouts ont des axes différents.
Travail en collaboration avec Andrew Clarke (IMPA) et Yuji Sano
(Kumamoto University).
Les métriques de Kähler à courbure scalaire constante (CSCK) ou
extrémales peuvent être définies comme les points critiques de
fonctionnelles de Mabuchi.
D'après les travaux de Donaldson, on sait qu'une métrique de Kähler à
courbure scalaire constante sans automorphisme est la limite d'une suite
de métriques projectives dites équilibrées. Le formalisme des métriques
\sigma-équilibrées de Sano généralise celui des métriques équilibrées
dans le cadre de la recherche des métriques extrémales.
On démontre que ce contexte, et les techniques développées par Donaldson,
permettent de montrer que si $(X,L)$ est polarisée extrémale, alors la
métrique extrémale atteint le minimum de la fonctionnelle de Mabuchi
relative à l'action du champ extrémale. L'existence d'une borne
inférieure pour cette fonctionnelle est aussi étendue aux petites
déformations complexes préservant l'action. Les arguments employés ici
sont élémentaires par rapport aux technologies développées par Mabuchi
d'une part, et Chen et Tian d'autre part. On en discutera les
différences, avantages et inconvéniants
Behrend-Fantechi puis Baranovsky-Ginsburg construisirent une structure de
Gerstenhaber sur la cohomologie d'intersection de deux variétés coisotropes. Nous
montrerons que cette construction se comprend fort bien à partir de la structure
L-infinie que l'espace normal d'une sous-variété coisotrope est bien connue
posséder. L'existence de quantifications de ces dernières, montrée par Cattaneo et
Felder, joue un rôle surprenant dans cette construction.
English version: As shown by Behrend-Fantechi and Baranovsky-Ginsburg, the intersection
cohomology of two coisotropic submanifolds admits a structure of Gerstenhaber
algebra. We relate this construction to the L-infinity structure that the cotangent
space of a coisotropic submanifold is known to be endowed with. In the process, the
existence of quantizations of those is shown to play a role.
Joined work with Florian Schätz and Ping Xu, with the participation of Gregory Ginot
and Mathieu Stiénon.
La thèse de Salim Rivière porte sur l'isomorphisme entre cohomologie de Chevalley-Eilenberg
d'une algèbre de Lie et cohomologie de Hochschild de son algèbre enveloppante. Les deux
sont isomorphes et l'isomorphisme est induit par l'antisymétrisation des cochaînes. Le travail
de Salim a été de définir un morphisme de complexes explicit qui devient inverse à l'antisymétrisation
au niveau de cohomologie. La dernière partie de la thèse établit un lien de ce morphisme avec l'intégration
de cocycles d'algèbres de Lie en cocycles de groupes.
