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Dans cet exposé, je présenterai le modèle de polymère dirigé en dimension 1+d, qui décrit un polymère unidimensionnel placé dans un milieu hétérogène. Une approche récente pour comprendre les effets des hétérogénéités sur la localisation du polymère consiste à considérer la limite de ‘'faible désordre’' du modèle. Je donnerai un aperçu du modèle et des résultats connus sur l’existence d'une limite d’échelle du modèle sous des hypothèses de moments suffisants. Je présenterai les résultats que nous avons obtenu avec Hubert Lacoin (IMPA, Brésil) lorsque ces hypothèses de moments ne sont plus vérifiées.

De l'ADN aux plastiques, en passant par les protéines ou encore le caoutchouc, ces molécules complexes partagent une même structure de chaîne qui leur fait porter le nom de "polymères". On peut les décrire mathématiquement par une grande classe de modèles, ce qui permet d'étudier les phénomènes biophysiques ou chimiques dans lesquels ils sont impliqués (comme l'adsorption d'un polymère à une surface, ou la (dé)-naturation d'un polymère). L'objectif de cet exposé est de présenter quelques modèles basiques, qui sont soumis à des phénomènes appelés "transitions de phase". À travers ces modèles, nous décrirons ce que ces "transitions" représentent physiquement pour la molécule, et comment nous pouvons les mettre en évidence mathématiquement. Enfin, nous verrons dans un modèle plus avancé comment nos outils peuvent être adaptés pour étudier des phénomènes encore plus fins, comme les "transitions de surface".

J'expliquerai comment des méthodes d'analyse des EDP développées par Helffer et Sjöstrand dans les années 80-90 peuvent être adaptées à l'étude des propriétés statistiques des flots d'Anosov très réguliers et des fonctions zêtas associées. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau.