Le problème de l'existence, voire de la classification, des sous-groupes de surfaces dans les réseaux des groupes de Lie réel a connu un développement récent important. Par exemple, Kahn et Markovic ont montré que toute variété hyperbolique compacte de dimension trois contient beaucoup de sous-groupes de surfaces (immergées). Et les travaux d'Agol résolvant une conjecture fameuse de Thurston, ont montré qu'à revêtement fini près, le résultat était encore vrai pour des sous-groupes de surfaces plongées. Après avoir évoqué l'importance des sous-groupes localement isomorphes à $SL_2(R)$ dans la classification des groupes de Lie réels semi-simples et les résultats susdits d'existence de sous-groupes de surfaces dans les réseaux, renforcés par les travaux de Hamenstädt, Kahn, Labourie et Mozes, nous évoquerons, sur des exemples considérés par Jouni Parkkonen et l'orateur, le problème largement ouvert, même dans un cadre arithmétique, de leur classification."
Gilles nous présentera les estimées analytiques clés pour faire fonctionner la construction de métriques d'Einstein sur les variétés de Gromov-Thurston, à partir des métriques presque Einstein et en utilisant la mise en jauge de Bianchi présentées lors des exposés précédents.
Titre : Sur les sous-groupes de surface des réseaux des groupes de Lie.
Nom de l'orateur : Frédéric Paulin
Etablissement de l'orateur : LMO, Université Paris-Sud
Lieu de l'exposé : salle des séminaires
Date et heure de l'exposé : 6 février 2020, 15h30
Résumé :
Le problème de l’existence, voire de la classification, des sous-groupes de surfaces dans les réseaux des groupes de Lie réel a connu un développement récent important. Par exemple, Kahn et Markovic ont montré que toute variété hyperbolique compacte de dimension trois contient beaucoup de sous-groupes de surfaces (immergées). Et les travaux d’Agol résolvant une conjecture fameuse de Thurston, ont montré qu’à revêtement fini près, le résultat était encore vrai pour des sous-groupes de surfaces plongées. Après avoir évoqué l’importance des sous-groupes localement isomorphes à SL2(R) dans la classification des groupes de Lie réels semi-simples et les résultats susdits d’existence de sous-groupes de surfaces dans les réseaux, renforcés par les travaux de Hamenstädt, Kahn, Labourie et Mozes, nous évoquerons, sur des exemples considérés par Jouni Parkkonen et l’orateur, le problème largement ouvert, même dans un cadre arithmétique, de leur classification."
Dans cet exposé, nous expliquons un résultat que nous avons obtenu récemment et qui concerne les équations d’ondes avec un Laplacien sous-Riemannien (i.e. sous-elliptique). Etant donnée une variété (M) , un sous-ensemble mesurable (\omega \subset M), un temps (T0) et un Laplacien sous-elliptique (\Delta) sur (M) , on dit que l’équation des ondes avec Laplacien (\Delta) est observable sur (\omega) en temps (T0) si toute solution (u) de (\partial{tt}^2 u − \Delta u = 0) avec une énergie initiale fixée satisfait (\int0^{T0} \intω |u|^2\,dx \,dt \geq C) pour une certaine constante (C > 0) indépendante de (u).
Il est connu depuis les travaux de Bardos-Lebeau-Rauch que l’observabilité de l’équation des ondes elliptique, i.e. avec un Laplacien Riemannien, en temps (T0) est quasiment équivalente à la Condition de Contrôle Géométrique (GCC), qui stipule que tout rayon de l’optique géométrique rentre dans (\omega) avant l’instant (T0). On montre que dans le cas sous-elliptique, dès lors que (M\backslash\omega) a un intérieur non-vide et (\Delta) est “sous-elliptique mais pas elliptique”, GCC n’est jamais vérifiée, ce qui implique que les équations des ondes sous-elliptiques ne sont jamais observables. La preuve consiste à construire des suites de solutions de l’équation des ondes dont l’énergie se concentre sur des géodésiques (pour la distance sur (M) associée à (\Delta)) qui passent un temps long dans (M\backslash\omega)
Les 5 minutes Lebesgue reprennent ce vendredi 17 janvier à 15h30 en salle des séminaires.
Au programme :
Meven Bertrand (LS2N)
Titre : Quatre couleurs suffisent !
Résumé : Combien de couleurs sont nécessaires pour colorier une carte sans que deux pays de la même couleur ne se touchent? Quatre couleurs suffisent ! C'est bien nommé le théorème des quatre couleurs, à l'histoire mouvementée. Des démonstrations erronées de la fin du XIXème siècle aux assistants de preuve du XXIème siècle, en passant par les balbutiements de l'informatique du XXème siècle.
Cet épisode sera suivi du visionnage des épisodes rennais.
Dans cet exposé, nous verrons comment utiliser la jauge de Bianchi (vue la semaine dernière) pour construire une métrique d'Einstein sur une variété de Gromov-Thurston, en se ramenant à un théorème de point fixe.
Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques
de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de
Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.
Dans sa thèse soutenue en 1951, Kenneth Arrow, généralisa le paradoxe soulevé deux siècle auparavant par Nicolas de Condorcet. Il y démontra l’impossibilité d'agréger un ensemble de préférences individuelles en une préférence collective en respectant quatre conditions pourtant souhaitables : l’universalité, la non-dictature, l’unanimité et l’indépendance aux alternatives non pertinentes. Quelques vingt ans après, le Philosophe Allan Gibbard et l’économiste Mark Satterthwaite démontrèrent indépendamment des résultats analogues. Nous verrons dans cet exposé ces théorèmes comme corollaires d’un théorème plus général du à Ning Neil Yu publié en 2012. Nous parlerons ensuite des limites imposées par le modèle d’Arrow et si le temps le permet, des modes de scrutin alternatifs, en particulier celui du jugement majoritaire développé par les deux chercheurs français Michel Balinski et Rida Laraki.
