Simultanément avec la formalisation du concept de variétés différentielles, est démontré le théorème de plongement de Whitney. Bien que le cas isométrique C^1 résistait aux tentatives de démonstration il était sûr que celui-ci serait proche de ses prédécesseurs. Il fallut attendre que ce problème attire l'attention de John Nash avant que la réponse ne soit donnée, celle-ci intrigua alors bon nombre de mathématiciens, dont Mikhaïl Gromov qui s'en inspira pour construire la théorie du h-principe. Des années plus tard, un groupe de mathématiciens font une avancée supplémentaire et obtiennent des images renversantes du théorème de Nash-Kuiper. Après une introduction historique, nous essaierons dans un temps limité de donner une brève démonstration de ce théorème en omettant au mieux les notions de variétés afin de le rendre plus accessible. Ensuite nous donnerons la possibilité aux participants de s'émerveiller devant la beauté des résultats combinés sur plusieurs décennies, puis en fonction du temps restant nous introduirons rapidement quelques bases du h-principe.

Le spectre de Steklov est l'ensemble des valeurs propres de l'opérateur Dirichlet-to-Neumann, défini sur le bord d'une variété riemannienne lisse compacte à bord. Quel type d'informations géométriques peut-on retrouver à partir de ce spectre ? Dans cet exposé, nous présenterons la résolution de ce problème inverse dans le cadre d'une variété riemannienne ayant la topologie d'un cylindre, munie d'une métrique de type produit tordu. Plus précisément, nous démontrerons que le spectre de Steklov caractérise le facteur conforme de la métrique à une invariance de jauge naturelle près.

Dans cette exposé, je vais expliquer comment la géométrie algébrique dérivée permet de redéfinir les invariants de Gromov-Witten de façon plus "naturel". Elle permet notamment d'avoir une définition plus canonique de la classe fondamentale virtuelle.

La théorie de l'intégration convexe a été inventée dans les années 70 par Gromov. Elle permet de résoudre des contraintes différentielles vues comme un sous-ensemble de l'espace des jets et appelé relation différentielle. Dans le cas d'une relation d'ordre un, elle part de la donnée d'une section $(x,f(x),L(x))$ du fibré $J^1(M,W)\to M$ à image dans la relation et effectue une succession d'intégrations bien choisies, appelées "intégrations convexes" pour construire une solution F à la contrainte différentielle. Cette théorie a conduit récemment à la construction explicite de plongements isométriques $C^1$. Dans cet exposé, nous proposerons une formule alternative aux intégrations convexes et nous caractériserons également un type de relation différentielle pour laquelle la nouvelle formule se simplifie grandement. En application de ce résultat, nous donnerons une idée de construction d'une nouvelle immersion de $RP^2$ et nous énoncerons un théorème de plongement $C^1$-isométrique de type Nash-Kuiper dans le cas des applications totalement réelles.

La géométrie sous-riemannienne offre une variété de situations dans lesquelles on aimerait étendre les résultats classiques de géométrie spectrale riemannienne (formule de Weyl, noyau de la chaleur, mesures semiclassiques ...). Plusieurs méthodes ont été développées qui aboutissent dans certains cas (Métivier, Menikoff-Sjöstrand, Helffer-Nourrigat, Morame ...). Je présenterai les particularités inhérentes à la géométrie sous-riemannienne, les approches microlocales mentionnées ci-dessus ainsi qu'une approche semi-groupe étudiée avec Yves Colin de Verdière et Emmanuel Trélat.