Noncommutative tori are ubiquitous examples of noncommutative spaces. Following the seminal work of Connes-Tretkoff, Connes-Moscovici, and others a differential geometric apparatus is currently being built. So far the main focus has been on conformal deformation of the (flat) Euclidean metric or product of such metrics. A new challenge is the accounting of the non-triviality of the modular automorphism group due to the lack of commutativity.

This talk will report on ongoing work to deal with general Riemannian metrics on NC tori (in the sense of Jonathan Rosenberg). After explaining the construction of the Laplace-Beltrami operator in this setting, three main results will be presented. The first main result is a topological version of the Gauss-Bonnet theorem for NC tori. This extends the Gauss-Bonnet theorem of Connes-Tretkoff for conformally flat metrics. The second result is a microlocal Weyl law for noncommutative tori.This can be seen as a first step toward Quantum Ergocity on NC tori. The third result is a local index formula for NC 2-tori equipped with a (noncommutative) Kaelher structure.

Je définirai l'homologie legendrienne dans une variété de contact à bord convexe, et présenterai quelques exemples naturels. Je calculerai ensuite l'homologie d'une fibre dans le complémentaire du conormal d'un noeud hyperbolique, ce qui permet de retrouver le noeud initial.

Je parlerai de percolation sur un pavage aléatoire du plan. Notamment, j'expliquerai a) en quoi l'étude de ce modèle est liée à la conjecture d'universalité de la percolation planaire et b) comment étudier géométriquement ce modèle autour du point critique. Pour cela, nous aurons besoin de techniques géométriques à la Kesten et d'outils de concentration de la mesure à la Efron-Stein.

Un grand nombre de processus aléatoires peuvent être modélisés par des Chaînes de Markov. Un des intérêts de ces Chaînes est que leur comportement limite (c'est-à-dire en temps long) est assez simple à déterminer. L'objectif de cet exposé (qui se veut non-technique et accessible à tou-te-s) sera d'énoncer un théorème limite sur les Chaînes de Markov, et d'étudier quelques exemples simples comme des marches aléatoires sur des graphes, ou bien un procédé de mélange d'un jeu de cartes.