La théorie de l'intégration convexe a été inventée dans les années 70 par Gromov. Elle permet de résoudre des contraintes différentielles vues comme un sous-ensemble de l'espace des jets et appelé relation différentielle. Dans le cas d'une relation d'ordre un, elle part de la donnée d'une section $(x,f(x),L(x))$ du fibré $J^1(M,W)\to M$ à image dans la relation et effectue une succession d'intégrations bien choisies, appelées "intégrations convexes" pour construire une solution F à la contrainte différentielle. Cette théorie a conduit récemment à la construction explicite de plongements isométriques $C^1$. Dans cet exposé, nous proposerons une formule alternative aux intégrations convexes et nous caractériserons également un type de relation différentielle pour laquelle la nouvelle formule se simplifie grandement. En application de ce résultat, nous donnerons une idée de construction d'une nouvelle immersion de $RP^2$ et nous énoncerons un théorème de plongement $C^1$-isométrique de type Nash-Kuiper dans le cas des applications totalement réelles.

La géométrie sous-riemannienne offre une variété de situations dans lesquelles on aimerait étendre les résultats classiques de géométrie spectrale riemannienne (formule de Weyl, noyau de la chaleur, mesures semiclassiques ...). Plusieurs méthodes ont été développées qui aboutissent dans certains cas (Métivier, Menikoff-Sjöstrand, Helffer-Nourrigat, Morame ...). Je présenterai les particularités inhérentes à la géométrie sous-riemannienne, les approches microlocales mentionnées ci-dessus ainsi qu'une approche semi-groupe étudiée avec Yves Colin de Verdière et Emmanuel Trélat.

Les graphes noués dans les variétés de dimension 3 peuvent être vus comme une généralisation des noeuds. Nous allons définir un invariant de type signature pour une famille de graphes trivalents et nous ferons le lien avec les signatures classiques des noeuds. (Travail en commun avec Louis-Hadrien Robert.)

Many mathematical models are non-deterministic: it means that for several runs of the model with the same input values do not lead to the same output. In this framework, a natural indicator about the performance of the model for certain input values is the expectation of its associated ouputs. From an optimization point of view, it can be interesting to find the input values associated with the highest ouput mean. This presentation is about a state of the art to address optimization problems in this framework. We focus particularly on discrete optimization, i.e. when the set of input values is finite.