Gilles nous présentera les estimées analytiques clés pour faire fonctionner la construction de métriques d'Einstein sur les variétés de Gromov-Thurston, à partir des métriques presque Einstein et en utilisant la mise en jauge de Bianchi présentées lors des exposés précédents.

Dans cet exposé, on s'intéressera à la notion d'attracteurs en dimension 2 (dans un plan) et en dimension 3 par l'intermédiaire du célèbre attracteur de Lorenz. L'objectif sera donc d'apporter des éléments de réponses aux questions suivantes en présentant quelques bases des systèmes dynamiques : qu-est-ce qu'un attracteur (étrange ou non) ? Comment apparaissent de tels objets ? Peut-on les classifier ? Comment prouver leur existence ?

On verra donc dans un premier temps quelques définitions (attracteur, ensembles \oméga-limites...) nécessaires à la présentation du théorème de Poincaré-Bendixson, puis dans un second temps quelques propriétés de l'ODE de Lorenz et de son attracteur étrange.

La quantification de Berezin-Toeplitz permet d'associer, à des fonctions sur des variétés symplectiques, des opérateurs auto-adjoints sur des espaces de Hilbert, avec un paramètre semiclassique. Quand la variété est R^{2n}, on retrouve les opérateurs pseudodifférentiels (par la transformée de Bargmann ou de FBI), et les opérateurs de Toeplitz admettent comme autre classe d'exemples importants les opérateurs de spins (quand la variété est S^2) qui décrivent l'interaction d'un matériau avec un champ magnétique.

Dans cet exposé, je présenterai les opérateurs de Toeplitz et leur ingrédient géométrique principal, le noyau de Szegö, avec comme motivation principale un exemple concret de système de spins dont le comportement est exotique. Je décrirai ensuite les techniques semiclassiques qu'on développe et qu'on utilise pour étudier la localisation des fonctions propres en quantification de Toeplitz.

Dans cet exposé, on s'intéresse à l'observabilité de l'équation de Schrodinger hypoelliptique. En particulier, on considère l'équation Schrodinger-Grushin, un modèle le plus simple dont la dégénérescence est de degré 1 (un seul crochet de champs engendre le fibré tangent). On obtient l'observabilité par la bande horizontale, avec le temps optimal, en fonction de la taille de la bande. Par conséquence, on démontre la contrôlabilité exacte pour cette équation. L'optimalité est réalisée par construire une suite des fonctions propres de l'oscillateur harmonique semiclassique, qui se concentrent près de l'origine. La preuve utilise plusieur outils d'analyse semiclassique de niveau assez élémentaire. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Nicolas Burq.