La quantification de Berezin-Toeplitz permet d'associer, à des fonctions sur des variétés symplectiques, des opérateurs auto-adjoints sur des espaces de Hilbert, avec un paramètre semiclassique. Quand la variété est R^{2n}, on retrouve les opérateurs pseudodifférentiels (par la transformée de Bargmann ou de FBI), et les opérateurs de Toeplitz admettent comme autre classe d'exemples importants les opérateurs de spins (quand la variété est S^2) qui décrivent l'interaction d'un matériau avec un champ magnétique.

Dans cet exposé, je présenterai les opérateurs de Toeplitz et leur ingrédient géométrique principal, le noyau de Szegö, avec comme motivation principale un exemple concret de système de spins dont le comportement est exotique. Je décrirai ensuite les techniques semiclassiques qu'on développe et qu'on utilise pour étudier la localisation des fonctions propres en quantification de Toeplitz.

Dans cet exposé, on s'intéresse à l'observabilité de l'équation de Schrodinger hypoelliptique. En particulier, on considère l'équation Schrodinger-Grushin, un modèle le plus simple dont la dégénérescence est de degré 1 (un seul crochet de champs engendre le fibré tangent). On obtient l'observabilité par la bande horizontale, avec le temps optimal, en fonction de la taille de la bande. Par conséquence, on démontre la contrôlabilité exacte pour cette équation. L'optimalité est réalisée par construire une suite des fonctions propres de l'oscillateur harmonique semiclassique, qui se concentrent près de l'origine. La preuve utilise plusieur outils d'analyse semiclassique de niveau assez élémentaire. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Nicolas Burq.

Le monde des start-ups et TPE liées à l'usage des données et aux développements d'intelligences artificielles est dynamique, mais chaotique, et fort consommateur de recherche et développement (R&D). Se doter d'une ligne scientifique et technique directrice, de compétences reliées, n'est pas une tâche aisée mais apparaît indispensable pour se développer et permettre la réalisation de services et de produit à forte valeur ajoutée. C'est en particulier le cas pour un cabinet de conseil en data science et IA comme Quantmetry, créateur du Datajob et possédant un start-up studio, qui joue un rôle particulier au sein de cet écosystème. Dans cet exposé, je présenterai une vision critique de ce dernier, des compétences et moyens nécessaires, au travers de quelques exemples de réalisations en IA en collaboration avec des grands groupes, des ETI et des laboratoires académiques.

On montre que sur une variété close de dimension 3, tout champ de Reeb non dégénéré est porté par un livre brisé. On en déduit que :

• Tout champ de Reeb non dégénéré a 2 ou une infinité d'orbites périodiques et 2 orbites sont possibles uniquement sur la sphère ou les lenticulaires tendus.

• Sur une variété non graphée (par exemple hyperbolique) tout champ de Reeb non dégénéré a de l'entropie topologique.

C'est un travail en commun avec Pierre Dehornoy et Ana Rechtman.

En 1986, Gromov fait paraître son livre "Partial differential relations", dans lequel il développe une méthode très générale pour résoudre des "relations" aux dérivées partielles (équations mais aussi inéquations). Le but de cet exposé est d'introduire ces idées via le théorème de Whitney-Graustein (prouvé par Whitney en 1937), qui classifie les immersions du cercle dans le plan et qui est sans doute l'exemple le plus simple d'application du h-principe.