In this talk we will discuss criteria for the $L^2 \times L^2 \to L^1$ boundedness of bilinear Fourier multiplier operators with symbols with bounded partial derivatives of all (or sufficiently many) orders. Results of this type have applications for proving boundedness of various operators in harmonic analysis, including rough bilinear singular integrals and bilinear spherical maximal functions. Our main focus will be on the question of optimality of these bilinear multiplier theorems. This is a joint work with Loukas Grafakos and Danqing He.

Nous poursuivons la construction des variétés de Gromov et Thurston, premières variétés compactes connues qui admettent des métriques à courbure négative, mais ne sont pas des quotients d'espaces symétriques.

On commencera par expliquer ce qu'est une forme normale de Birkhoff, pour des équations Hamiltoniennes en dynamique classique. En un mot, il s'agit de construire un bon changement de variable, qui rende l'équation plus simple. Ensuite, on verra comment adapter cette méthode dans un cadre semiclassique : Sjostrand a introduit une forme normale de Birkhoff pour un opérateur de Schrödinger. Ceci permet de voir l'opérateur comme une simple fonction d'un oscillateur harmonique, et d'en déduire une approximation de ses valeurs propres dans la limite semiclassique. Enfin, on utilisera les mêmes techniques pour construire des formes normales pour le Laplacien magnétique.

Wave packets describe the quantum vibrations of a molecule. They are highly oscillatory, highly localized and move in high dimensional configuration spaces. The governing equation is the time-dependent Schr\"odinger equation in the semiclassical regime. The talk addresses three meshless numerical methods for catching wave packets: single Gaussian beams, superpositions of them, and the so-called linearized initial value representation.

Considérons le processus de  Langevin suramorti $(X_t)_{t\ge 0}$ solution de l'équation différentielle stochastique  sur $\mathbb R^d$:
$$dX_t=-\nabla f(X_t)dt+\sqrt h dB_t.$$
C'est un processus  prototypique utilisé   pour modéliser l'évolution de systèmes statistiques.  La fonction $f:\mathbb R^d\to \mathbb R$ est le potentiel du système et $h>0$ sa température. Le processus de Langevin suramorti est métastable: il reste bloqué (piégé) dans des voisinages des minima locaux de $f$ sur de longues périodes de temps avant de s'en échapper. C'est une des raisons majeures qui rend inaccessibles l'observation de transitions entre les états macroscopiques du système ainsi que le calcul de quantités thermodynamiques par intégration directe des trajectoires de $(X_t)_{t\ge 0}$. De nombreux algorithmes ont été introduits ces dernières années  pour accélérer l'échantillonnage de dynamiques métastables (e.g.  les méthodes de Monte-Carlo cinétique et les \textit{accelerated dynamics algorithms} introduits par A.F. Voter et al. à Los Alamos). Ces algorithmes  reposent sur des estimées  précises de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega\subset \mathbb R^d$ à basse température ($h\ll1$) et notamment sur le calcul asymptotique des taux de transition entre les états macroscopiques à l'aide de  la célèbre loi d'Eyring-Kramers (1935).
Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents marquant des avancées significatives    sur l'étude précise de l'évènement de sortie d'un état macroscopique $\Omega$ pour le processus de Langevin suramorti quand $h\ll1$, ainsi que les nombreuses questions qui restent ouvertes.
Mots clés: physique statistique/moléculaire, loi d’Eyring-Kramers, métastabilité, régime d’une petite température, méthodes de Monte-Carlo cinétique.

Dans cet exposé, j'évoquerai les lois de Fick et Maxwell-Stefan pour la diffusion gazeuse, puis présenterai la dérivation du second modèle en me plaçant dans l'asymptotique diffusive de l'équation de Boltzmann pour les mélanges.