Cette thèse étudie les caractères modulaires de trois familles de groupes : les groupes symétriques, les produits en couronne avec un groupe fini et les groupes linéaires finis. On s'intéresse plus particulièrement à la structure multiplicative des groupes de Grothendieck des modules projectifs. Dans les cas des groupes symétriques et des produits en couronne, on obtient que ce sont des anneaux polynomiaux. Un résultat similaire a été conjecturé par Carlisle et Kuhn pour les groupes linéaires en caractéristique naturelle. On obtient une forme plus faible donnant la polynomialité sur les rationnels avec des générateurs décrits par les caractères de Deligne-Lusztig. On montre diverses applications de ce résultat en théorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod.

Yann nous montrera comment, sur une variété à courbure négative, la recherche de métrique d'Einstein se ramène à un théorème des fonctions implicites via un choix particulier de jauge : la jauge de Bianchi. Il nous montrera aussi comment, dans le cas des métriques de Gromov-Thurston, choisir des espaces adaptés dans lesquels faire fonctionner ce théorème des fonctions implicites.

Martin présentera la construction de Fine et Premoselli des métriques presque Einstein sur les variétés de Gromov-Thurston, point de départ de la construction de métriques Einstein sur ces variétés.

Sébastien Gouëzel poursuivra demain mardi 19 novembre la construction des variétés de Gromov et Thurston, premières variétés compactes connues qui admettent des métriques à courbure négative mais pas de métrique à courbure constante. Après avoir construit ces variétés dans les séances précédentes, Sébastien nous expliquera demain pourquoi elles n'admettent pas de métrique à courbure -1.

Un problème inverse consiste à remonter aux causes partant des effets. Dans une première partie, à partir du problème inverse de Calderόn, nous expliquerons de manière générale en quoi peut consister en mathématiques la résolution d'un tel problème. Dans un second temps, nous exposerons dans les grandes lignes la preuve de sa résolution par Ulhmann et Sylvester en 1987 dans le cas isotrope et en dimension supérieure ou égale à trois.

Noncommutative tori are ubiquitous examples of noncommutative spaces. Following the seminal work of Connes-Tretkoff, Connes-Moscovici, and others a differential geometric apparatus is currently being built. So far the main focus has been on conformal deformation of the (flat) Euclidean metric or product of such metrics. A new challenge is the accounting of the non-triviality of the modular automorphism group due to the lack of commutativity.

This talk will report on ongoing work to deal with general Riemannian metrics on NC tori (in the sense of Jonathan Rosenberg). After explaining the construction of the Laplace-Beltrami operator in this setting, three main results will be presented. The first main result is a topological version of the Gauss-Bonnet theorem for NC tori. This extends the Gauss-Bonnet theorem of Connes-Tretkoff for conformally flat metrics. The second result is a microlocal Weyl law for noncommutative tori.This can be seen as a first step toward Quantum Ergocity on NC tori. The third result is a local index formula for NC 2-tori equipped with a (noncommutative) Kaelher structure.