Hamiltonian homeomorphisms are those homeomorphisms of a symplectic manifold which can be written as uniform limits of Hamiltonian diffeomorphisms. One difficulty in studying Hamiltonian homeomorphisms (particularly in dimensions greater than two) has been that we possess fewer tools for studying them. For example, (filtered) Floer homology, which has been a very effective tool for studying Hamiltonian diffeomorphisms, is not well-defined for homeomorphisms. We will show in this talk that using barcodes and persistence homology one can indirectly define (filtered) Floer homology for Hamiltonian homeomorphisms. This talk is based on joint projects with Buhovsky-Humiliére and Le Roux-Viterbo.

Gromov et Thurston ont construit les premiers exemples de variétés compactes qui admettent une métrique à courbure strictement négative mais ne sont pas des quotient d'espaces localement symétriques. En deux exposés, nous expliquerons cette construction.

Gromov et Thurston ont construit les premiers exemples de variétés compactes qui admettent une métrique à courbure strictement négative mais ne sont pas des quotient d'espaces localement symétriques. En deux exposés, nous expliquerons cette construction.

A higher genus version of Welschinger invariant was defined by Shustin for del Pezzo surfaces. These invariants count real curves of positive genera with signs. We study the properties of higher genus Welschinger invariants under Morse simplification. When the signs are defined by the number of solitary nodes, we prove that these higher genus Welschinger invariants depend only on the total number of real interpolated points. The result follows from a reduction of the genus and Brugallé's result on the invariance of genus zero Welschinger invariants.

On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu'il existe des plongements non équivalents. Certains d'entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Ce nouvel invariant est dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)

À un flot de type Anosov (par exemple le flot géodésique sur une variété à courbure négative), on peut associer une fonction méromorphe construite à partir des longueurs de ses orbites périodiques et appelée fonction zêta de Ruelle. Dans cet exposé, je rappellerai les propriétés analytiques de ces fonctions zêta ainsi que leur lien avec les résonances de Ruelle. J'expliquerai ensuite de quelle manière le comportement en 0 de ces fonctions zêta encode des informations sur la topologie de la variété (cohomologie de de Rham, torsion de Reidemeister dans le cas acyclique). Il s'agit de travaux en collaboration avec N.V. Dang (Lyon), C. Guillarmou (Orsay) et S. Shen (Jussieu).

Étant donné une marche aléatoire dans un groupe de type fini, le problème de la limite locale consiste à trouver une asymptotique précise de $pn$, la probabilité d'être revenu au point de départ au temps n. On discutera de ce problème dans le contexte des groupes hyperboliques et relativement hyperboliques. On montrera notamment qu'on obtient un équivalent de la forme $pn\sim CR^{-n}n^{-3/2}$. Pour obtenir ce résultat, on commencera par établir un équivalent précis de la fonction de Green à son rayon de convergence. Pour cela, on utilisera la machinerie du formalisme thermodynamique. On sera alors amené à discuter de structures automatiques et relativement automatiques.

L'écoulement du sang dans les artères est a priori modélisé par les équations de Navier-Stokes 3D, avec une force de rappel élastique pour la paroi. Cela s'avère extrêmement coûteux lorsque l'on veut simuler tout un réseau. En intégrant sur la section transverse de l'artère et en faisant certaines hypothèses simplificatrices, on peut obtenir un modèle 1D plus simple sous la forme d'un système hyperbolique d'EDP. Dans cet exposé, j'expliquerai d'abord comment on obtient ce modèle à partir de Navier-Stokes, avant de donner ses principales propriétés. Je proposerai ensuite une méthode numérique pour approcher les solutions, ainsi qu'une extension à l'ordre 2. On verra que le schéma construit vérifie plusieurs propriétés importantes (robustesse, préservation des états d'équilibre, inégalité d'entropies discrètes). Je terminerai en présentant quelques résultats numériques illustrant ces propriétés