Travail récent avec M. Zerzeri. Soit \(V : \mathbf{R}^n → \mathbf{R}\) un potentiel assez analytique qui tend vers 0 à l’infini. Supposons que pour un \(E > 0\) on ait \(V^{−1} (] − \infty, E[) = U (E) \cup S(E)\), où \(U (E) \cap S(E) = \varnothing\), avec \(U (E)\) connexe borné (le puits) et \(S(E)\) connexe (la mer). La répartition des résonances pour \(−h^\Delta + V\) près \(E\) a été bien étudiée depuis plus de 30 ans. Si on augmente \(E\) alors un scénario naturel c’est que la décomposition persiste jusqu’à ce que les adhérances de \( U (E) \) et \( S(E) \) se touchent pour une énérgie critique \(E = E_0\). Sous des hypothèses naturelles, nous montrons que près de \(E_0\) la plupart des résonances sont proches de l’axe réel et obéissent à une loi de Weyl. En dimension 1 on a des résultats plus détaillés (Fujiie-Ramond 98).

Dans cet exposé je vais rappeler notre travail en commun avec L. Ng et S. Sivek établissant une équivalence entre les représentations de l'algèbre de Chekanov d'un nœud toriques (2,m) et les faisceaux à micro-support sur celui-ci (quel que soit le rang). De ce calcul sort une identité généralisant l'identité de Sylvester sur les matrices à tous les polynômes continuant. Cela suggère possiblement que d'autres relations matricielles découlent de la correspondance (encore conjecturelle) dans des cas plus généraux.

Soit GW(d,g) le nombre de courbes algébriques de degré d et genre g dans CP^2 passant par 3d-1+g points. La conjecture de Göttsche stipule en particulier que ces nombres sont asymptotiquement donnés par un polynôme en d une fois fixé le nombre de points doubles des courbes énumérées (ie on fixe le cogenre au lieu du genre). Cette dernière hypothèse n'est pas gratuite, car il est bien connu que les nombres GW(d,g) grandissent de manière exponentielle en d lorsque g est fixé. En géométrie tropicale, il existe une version quantique, ou raffinée, des invariants de Gromov-Witten. Les nombres GW(d,g) sont alors remplacés par des polynômes de Laurent G(d,g)(q). Bien que les nombres GW(d,g) croissent exponentiellement à g fixé, on observe une résurgence de la polynomialité à la Göttsche dans les coefficients de leur pendants raffinés. Dans le cas des courbes rationnelles, je donnerai aussi des résultats de polynomialité des coefficients d'invariants descendants tropicaux raffinés, et les relierai à la géométrie énumérative réelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Andrés Jaramillo Puentes.

J'expliquerai comment les surfaces polyèdrales isotropes peuvent être vues comme les zéros d'applications moment. Ces applications moments peuvent être à leur tour utilisées pour contruire des surfaces polyèdrales via le théorème du point fixe, ou la limite de certains flots en dimension finie. Ces techniques sont finalement implémentées sur ordinateur pour obtenir de nombreux exemples de surfaces polyhédrales lagrangiennes de $R^4$.

Mirzakhani wrote two papers studying the asymptotic behaviour of the number of curves of a given type (simple or not) and with length at most $L$. In this talk I will explain a new independent proof of Mirzakhani's results. This is joint work with Viveka Erlandsson.

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