The study of Harmonic Analysis (more details) nourishes and is nourished by adjacent fields (partial differential equations, functional analysis, geometry, etc) and comprises a lot of beautiful results and a very accurate understanding of some mathematical objects.

This international academic program will combine the idea of the “Master class” with the classical “Internet Seminar”, and will be centered around a research-like experience spanning over a period of two-three months.

We will complete this program in August 2019, with a meeting where the participants will present their work on their different projects. This meeting will take place from 27-30 August in Saint-Nazaire , by the Atlantic ocean.

Informations

Contact : frederic.bernicot@univ-nantes.fr, cristina.benea@univ-nantes.fr

La journée du Laboratoire de Mathématiques Jean Leray aura lieu le 24 juin 2019. Les exposés se tiendront en salle 3 du bâtiment 11 (Informatique).

Planning :

9h30 : Café/Croissants
10h : Hélène Mathis "Modélisation d’écoulements multiphasiques compressibles"
11h : Claire Brecheteau "Robust shape inference from a sparse approximation of the Gaussian trimmed loglikelihood"

12h-14h : Pause déjeuner au camping du Petit Port

14h : Samuel Tapie "Laplacien et géodésiques sur les surfaces"
15h : Erwan Brugallé "Courbes réelles finies "

16h : Pause café

16h20 : Maha Aafarani "Analyse spectrale de l'opérateur de Schrödinger avec un potentiel à valeurs complexes"

Résumés :

• Exposé de Hélène Mathis :
  Titre : Modélisation d’écoulements multiphasiques compressibles

Résumé : Cet exposé traite de la modélisation d’écoulements compressibles constitués de plusieurs phases. On considère un exemple, issu de l’industrie, faisant intervenir un liquide, sa vapeur et un gaz. Le gaz et la vapeur forment un mélange parfaitement miscible, qui est lui-même immiscible avec le liquide. Ces hypothèses de modélisation se traduisent en contraintes mixtes sur les volumes de chacune des phases. L’étude de l’équilibre thermodynamique du mélange, à l’aide d’outils d’analyse convexe, nous permet de caractériser l’entropie du système et ses propriétés.
Dans une seconde partie, on s’intéresse à la dynamique du fluide, décrite par les équations d'Euler. En s’appuyant sur le formalisme thermodynamique et la structure entropique vus en première partie, on finit l’exposé par l'étude des fermetures du système et de son hyperbolicité.

• Exposé de Claire Brecheteau :
  Titre : Robust shape inference from a sparse approximation of the Gaussian trimmed loglikelihood

Résumé : Given a noisy sample of points lying around some shape M, with possibly outliers or clutter noise, we focus on the question of recovering M, or at least geometric and topological information about M. Often, such inference is based on the sublevel sets of distance-like functions such as the function distance to M, the distance-to-measure (DTM) [2] or the witnessed distance [4]. In this talk, we firstly widespread the concept of trimmed log-likelihood to probability distributions. This trimmed log-likelihood can be considered as a generalisation of the DTM.
A sparse approximation of the DTM, the k-power distance-to-measure (k-PDTM), has been introduced and studied by Brécheteau and Levrard in 2017 [1]. Its sublevel sets are unions of k balls, with k possibly much smaller than the sample size. By miming the construction of the k-PDTM from the DTM, we propose an approximation of the trimmed log-likelihood associated to the family of Gaussian distributions on R^d. This approximation is sparse is the sense that its sublevel sets are unions of k ellipsoids.
We provide a Lloyd-type algorithm to compute the centers and covariance matrices associated to the ellipsoids. We improve our algorithm by allowing an additional noise parameter to wipe out some points, just as the trimmed k-means algorithm of Cuesta-Albertos et al. [3]. Our algorithm comes together with a heuristic to select this parameter. Some illustrations on different examples enhance that our algorithm is efficient in wiping out clutter noise, recovering the shape and recovering the homology of M; this requiring a storage of only k points and covariance matrices.

[1] Brécheteau, Claire and Levrard, Clément, The k-PDTM : a coreset for robust geometric inference, preprint, 2017.
[2] Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner and Quentin Mérigot, Geometric Inference for Probability Measures, Foundations of Computational Mathematics, 2011.
[3] Cuesta-Albertos, Juan. A. and Gordaliza, Alfonso and Matran, Carlos, Trimmed k-means: an attempt to robustify quantizers, The Annals of Statistics, 1997.
[4] Guibas, Leonidas J. and Mérigot, Quentin and Morozov, Dmitriy, Witnessed K-distance, SoCG '11, 2011.

• Exposé de Samuel Tapie :
  Titre : Laplacien et géodésiques sur les surfaces

Résumé : Le laplacien est un opérateur différentiel omniprésent en physique mathématique, et ses "valeurs propres" sont des quantités qui régissent de nombreux phénomènes (son, chaleur, états quantiques...). Le groupe fondamental est aussi omniprésent pour le topologue que le laplacien pour l'analyste. C'est un objet algébrique qui permet d'encoder (partiellement) la "forme" de tout espace topologique, à déformation continue près.

Les géodésiques sont, sur un espace courbe, les chemins qui sont (localement) les plus courts entre deux points. Dans cet exposé, après quelques "rappels" sur le laplacien et le groupe fondamental, j'expliquerai comment les géodésiques permettent d'établir de nombreux lien qualitatifs et quantitatifs entre le spectre du laplacien et le groupe fondamental sur les surfaces à courbure négative.

• Exposé de Erwan Brugallé :
  Titre : Courbes réelles finies

Résumé : Le problème principal de l'exposé est le suivant: étant donné un polynôme positif P(x,y) de degré d, combien l'équation P(x,y)=0 peut-elle avoir de solutions isolées dans R^2? Cette question élémentaire a été posée par des mathématiciens aux motivations diverses, parfois éloignées de la géométrie algébrique et à vrai dire, je n'ai aucune idée de la réponse. Je décrirai néanmoins quelques progrès récents obtenus en collaboration avec Alex Degtyarev, Ilia Itenberg et Frédéric Mangolte, et tenterai par là même d'expliquer les difficultés de ce problème.

• Exposé de Maha Aafarani :
  Titre : Analyse spectrale de l'opérateur de Schrödinger avec un potentiel à valeurs complexes

Résumé : On considère un opérateur de Schrödinger avec un potentiel à valeurs complexes qui décroit rapidement à l'infini. Ce modèle non auto-adjoint admet une valeur propre zéro et de résonances réelles. On entend par résonance réelle un nombre positif pour lequel l'opérateur possède une fonction propre généralisée qui n'est pas de carré intégrable. Ces nombres réelles sont un obstacle à l'analyse spectrale de cet opérateur modèle. Dans cet exposé, on s'intéresse aux développements asymptotiques de la résolvante dans les parties basse et intermédiare de l'énergie. En particulier, on étudie les deux situations de l'énergie zéro: zéro est une valeur propre ou une résonance. Comme application, on obtient l'asymptotique en temps long de la solution de l'équation de Schrödinger.

le Mardi 25 Juin à partir de 14h00 en Salle 003 (Bâtiment 10) :

Axiomatization and Algebraization of Measure Theory in the first half of the XX Century.

Le Mercredi 26 Juin à partir de 10h30 en Salle 003 (Bâtiment 10) :

Pathological Objects and Counterexamples in the XIX Century.