Classical and flag paraproducts arise naturally in the study of nonlinear PDEs. While multi-parameter paraproduct has been studied thoroughly, known estimates for flag paraproducts only involve single parameter. We will state $L^p$ estimates for a particular case of the bi-parameter flag paraproduct on some restricted function spaces. We will discuss the key ingredient of the proof - a stopping-time argument which combines information from subspaces to obtain estimates on the entire space.

It is not known whether a contractible 3-manifold admits a complete metric of positive scalar curvature. For example, the Whitehead manifold is a contractible 3-manifold but not homeomorphic to $R^{3}$. In this talk, I will present my proof that it does not have a complete metric with positive scalar curvature. I will further explain that a contractible genus one 3-manifold, a notion introduced by McMillan, does not admit a complete metric of positive scalar curvature.

Dans les années 70, Thurston développe une théorie dite des corrugations. L'idée centrale de cette théorie est d'utiliser des oscillations dans le but de résoudre des contraintes géométriques. Elle sera mise en pratique en 94 pour construire un retournement de la sphère. Les récentes visualisations de plongements isométriques (tore plat, sphère réduite) font également apparaître des oscillations. Ceci n'est pas un hasard et nous verrons pourquoi dans cet exposé.

Dans cet exposé, on étudiera le comportement en temps grand de la solution de l'équation de Schrödinger en dimension 3 "idu/dt = Hu" avec un opérateur linéaire non auto-adjoint H ayant un nombre fini de singularités spectrales (une valeur propre ou une résonance au seuil zéro et de résonances réelles positives qu'on définira). On s’intéressera à l'analyse des propriétés spectrales de l'opérateur H en énergies basse (près de zéro) et intermédiaire (près des résonances réelles positives) dans des espaces de Sobolev appropriés. On obtiendra les développements asymptotiques de la solution de l'équation étudiée quand t tend vers + infini dans les deux situations: zéro est une valeur propre ou zéro est une résonance et pas une valeur propre de H.

The Degasperis-Procesi equation (DP) is a spatial one-dimensional model for nonlinear shallow waters phenomena and it is one of the few known Hamiltonian PDEs which is completely integrable, namely it possesses infinitely many constants of motion. Moreover this equation is quasi-linear, namely the nonlinear terms contain derivatives of the same order of the linear part. In this talk I will show a recent result of existence and stability of small amplitude quasi-periodic solutions for Hamiltonian perturbations of the DP equation on the circle. This result is based on a combination of Nash-Moser / KAM schemes and pseudo differential calculus techniques. There are several issues in dealing with this problem:
- the equation is completely resonant, meaning that the linear solutions are all periodic, so the existence of the expected quasi-periodic solutions is due to the nonlinear terms;
- the linear dispersion is weak, in the sense that the linear solutions are close to travelling waves, and this makes difficult to impose the non-resonance Melnikov conditions required by the KAM scheme;
- the resonant structure is quite complicated and we need to exploit the integrability of the unperturbed equation to extract the first nonlinear approximate solutions from which the Nash-Moser scheme bifurcates.
This is a joint work with Roberto Feola and Michela Procesi.

Dans cet exposé nous introduisons des processus de croissance-fragmentation autosimilaires. Nous nous intéresserons dans un premier temps au comportement asymptotique de ces processus. Nous présenterons ensuite un critère permettant de les obtenir comme limite d'échelle de chaînes de Markov branchantes.