Dans cet exposé, je souhaite d'abord introduire, à travers des exemples typiques et frappants, les notions de base et les premiers résultats en géométrie de contact de dimension trois, ce qui me permettra ensuite de motiver l'investigation de la topologie des nœuds legendriens. J'évoquerai en particulier certains résultats de rigidité qui distinguent la classification des nœuds legendriens de celles des nœuds topologiques. Enfin, selon le temps restant à ma disposition, j'expliquerai comment ces questions se généralisent aux dimensions impaires par l'étude des sous-variétés legendriennes des variétés de contact générales.

Dans mon exposé, on va parler du logiciel FULLSWOF, qui permet de faire des simulations numériques sur les écoulements d'eaux en surface peu profond à travers l'équation de Saint-Venant. Ensuite vous présenter, deux nouveaux schémas numériques que j'ai implémenté dans ce logiciel.

Un groupe de Baumslag-Solitar est un groupe à deux générateurs et une relation dont certaines propriétés peuvent être déduites en étudiant son action sur un espace géométrique. Je présenterai un moyen de construire un arbre sur lequel BS(p,q) agit et montrerai comment utiliser cette action pour prouver que ce groupe ne contient pas Z^3.

Lorsque qu’on s’intéresse à la résolution numérique du problème des vagues, on remarque que se donnant une subdivision du temps de résolution, il est nécessaire de résoudre un problème de Laplace différent pour chaque pas de temps. Considéré tel quel, ceci est extrêmement coûteux. Dans cet exposé, je vous présenterai une manière d’obtenir une méthode de résolution numérique efficace, reposant sur le redressement du domaine de résolution, via des transformations conformes.

En géométrie énumérative, l'approche tropicale est parfois fort utile pour calculer effectivement certains invariants de part la nature combinatoire de cette dernière. De plus, sa richesse structurelle permet en fait de calculer bien plus que les invariants qui nous intéressent, et c'est par exemple le cas des polynômes de Block-Göttsche. Dès lors se pose la question de l'interprétation de tels invariants en géométrie classique et nombre de celles-ci restent encore conjecturales. Dans le cas des courbes planes, Mikhalkin propose d'interpréter le polynôme de Block-Göttsche comme un comptage de courbes réelles satisfaisant des conditions de tangence à l'infini en les discriminant suivant la valeur que prend l'aire de leur amibe. Nous allons tenter de poser les bases de ce que pourrait être un analogue en dimension supérieure.