Les fibres de Milnor jouent un rôle crucial dans l’étude de la topologie d’une singularité de surface. Elles correspondent aux différents lissages possibles de cette singularité. Une description de cette fibre est connue dans certains cas particuliers, mais pas en général, même pour des singularités isolées. D’un autre côté, l’étude de son bord est un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’années. Dans différents contextes, il est prouvé que ce bord est une variété graphée. (Mumford, 1961, pour les singularités isolées, Michel-Pichon, 2003, 2014, pour un lissage d’une surface réduite d’espace total lisse, Némethi-Szilard, 2012, sous les mêmes hypothèses, Bobadilla-Menegon Neto, 2014, pour une surface non réduite et un espace total avec singularité isolée). J’expliquerai comment la preuve constructive proposée par Némethi et Szilard peut être adaptée pour prouver, constructivement, le même résultat pour un lissage de surface réduite d’espace total quelconque. Ceci permet d’espérer l’obtention, à terme, d’une caractérisation des variétés lisses bordant une fibre de Milnor de lissage de surface complexe. De plus, je propose un algorithme simple pour le calcul du bord d’une fibre de Milnor, dans le cas d’une surface définie par une fonction Newton non-dégénérée sur un germe d’espace torique.

I will present some recent progress in an ongoing project with S. Buschenhenke (Kiel), I. Ikromov (Samarkand) and D. Müller (Kiel) where we obtain the range of $p$ for which the maximal operator associated to hypersurfaces in $R^3$ is bounded on $L^p$. We will see, with a particular example, how, when the so-called height is less than $2$, it is not what determines the $p$ range.

In this talk, we will first review some classical results on the so-called ’spectral inequalities’, which yield a sharp quantification of the unique continuation of the spectral family associated with the Laplace-Beltrami operator in a compact manifold. In a second part, we will discuss how to obtain the spectral inequalities associated to the Schrodinger operator -\Delta_x + V(x), in \mathbb{R}^d, in any dimension $d\geq 1$, where V=V(x) is a real analytic potential. In particular, we can handle some long-range potentials. This is a joint work with Prof G. Lebeau (Université de Nice-Côte d'Azur, France).

Après l'étude en dimension 3 de l'équation d'Einstein, ou de son flot associé--le flot de Ricci--, l'étude en dimension 4 est l'une des nouvelles frontières de la géométrie riemannienne. Malgré de nombreux efforts, peu d'exemples sont connus et des questions de base restent ouvertes. Dans cet exposé, on fera le point sur plusieurs progrès importants accomplis ces dernières années.

La fonction Delta de Hooley est une fonction arithmétique qui mesure la concentration logarithmique des diviseurs d'un entier donné, nous verrons dans un premier temps quelques propriétés concernant cette fonction, ainsi que quelques applications associées; puis, nous nous intéresserons à ce qui se passe lorsque l'on "tord" cette fonction par un caractère de Dirichlet non trivial.

En mécanique des fluides, le nombre de Mach est un nombre sans dimension qui exprime le rapport de la vitesse locale d'un fluide à la vitesse du son dans ce même fluide. Lorsque ce nombre est très petit, les compressions dues aux variations de pression peuvent être négligées, et l'écoulement peut être considéré, en première approximation, comme étant incompressible.

D'un point de vue théorique, de nombreuses recherches ont pour objectif de justifier rigoureusement la transition d'un écoulement à nombre de Mach strictement positif, c'est-à-dire compressible, vers un écoulement à nombre de Mach nul, c'est-à-dire incompressible.

D'un point de vue applicatif, peuvent intervenir, dans de nombreuses configurations industrielles, des transitions entre un écoulement incompressible ou faiblement compressible vers un écoulement fortement compressible. C'est le cas par exemple lorsque l'on étudie des situations accidentelles dans le domaine de la sûreté nucléaire. Il est alors essentiel de disposer de méthodes numériques permettant de simuler des écoulements à tout nombre de Mach.

Depuis quelques années, un effort important a été consacré au développement de schémas pour la simulation numérique des écoulements compressibles sur mailles décalées, c'est-à-dire s'appuyant sur une discrétisation en espace (structurée ou non) des variables scalaires au centre des mailles et des vitesses aux faces de celles-ci. Les propriétés usuelles ont été démontrées pour ces schémas: existence de solutions, préservation des états admissibles, stabilité, inégalités d'entropie, consistance au sens de Lax. Outre leur simplicité et leur efficacité (les flux numériques sont très aisés à construire), ces schémas présentent l'intérêt suivant : si l'on suppose la masse volumique constante, ils dégénèrent vers un algorithme standard (et éprouvé) pour l'incompressible. Dans cet exposé, nous nous plaçons dans le cadre des équations de Navier-Stokes compressibles barotropes, et démontrons que la convergence vers le schéma pour l'incompressible est réellement obtenue: à maillage fixé, lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, la masse volumique tend effectivement vers une constante maille par maille. L'analyse présentée ici adapte au niveau discret la théorie développée dans le papier de Lions et Masmoudi (1998) au niveau continu pour les solutions faibles. Elle s'étend à deux discrétisations en temps différentes, qui ont pour résultat de découpler les équations en faisant apparaître un problème elliptique discret pour la pression. Ce sont ces schémas qui ont un intérêt en pratique ; l'un d'entre eux est utilisé quotidiennement dans le logiciel P2REMICS de l'IRSN, pour la simulation des déflagrations en phase gazeuse (explosion d'hydrogène).

trois exposés. Le programme est ici

On considère le laplacien de Hodge-de Rham H sur les formes différentielles sur une variété riemannienne complète non compacte. L'objectif est de comprendre sous quelles conditions géométriques (portant sur la courbure de Ricci) le semi-groupe e^{-tH} agit sur tous les L^p et obtenir la meilleure majoration possible de sa norme. Pour ce faire, nous étudions quelques estimations du noyau de la chaleur correspondant à H. Ces questions sont liées à d'autres problèmes tels que la transformée de Riesz ou le gradient du noyau de la chaleur sur les fonctions. Dans cet exposé, nous ferons le point sur ces questions et présentons quelques résultats récents.

Dans un corps ordonné (typiquement Q ou R), un élement est positif si et seulement si il est somme de carrés. Pour un anneau ordonné (typiquement un anneau de fonctions sur un corps ordonné) il existe des élements positifs qui ne sont pas somme de carrrés. Ce lien entre positivité et somme de carrés, introduit par le 17e problème de Hilbert, est au cœur de la géométrie algébrique réelle. Nous en explorerons les fondements pour aboutir aux théorèmes de Schmüdgen et Putinar, qui donnent des conditions suffisantes pour que des fonctions soient écrivables comme somme de carrés.