En mécanique statistique, l’équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles qui décrit l’évolution temporelle de la fonction de densité de probabilité de la vitesse d’une particule sous l’influence des forces de traînée et des forces aléatoires. L’opérateur de Fokker-Planck dérive de cette équation cinétique par changement de variable. La difficulté de l’étude de cet opérateur vient du fait qu’il n’est ni auto-adjoint, ni elliptique ni sectoriel. Dans cet exposé je veux présenter une nouvelle méthode basant sur des estimations hypoelliptiques et des critères plus fins qui aboutit à localisation du spectre de l'opérateur de Fokker-Planck et ainsi le retour à l'équilibre.

Travail en commun avec J.P. Monnier et R. Quarez. La normalisation faible d'une variété algébrique complexe est une variété intermédiaire entre la variété et sa normalisation, qui est en bijection avec la variété de départ. On développe une notion analogue pour les variétés algébriques réelles en s'appuyant sur l'anneau des fonctions rationnelles continues.

Uncertainty Quantification (UQ) aims at characterizing and quantifying the impact of some input parameters of interest, generally modelled as random variables, onto the outcome of a computational model. The goal could be for instance to estimate the mean behaviour of a system or its probability of failure. Often the model is too expensive to evaluate so that the UQ analysis is realized on a surrogate model, meaning an approximation that allows fast evaluations of the input-to-output relashionship. However, approximation of multivariate functions is a difficult task when the number of input parameters is large. Identifying the directions where the function does not vary significantly is a key preprocessing step to reduce the complexity of the approximation algorithms.

In this talk, we propose and analyze gradient-based methods that permit to detect such a low-dimensional structure. The methodology consists in minimizing an upper-bound of the approximation error obtained using Poincaré-type inequalities. We show the connection with standard screening techniques used in Global Sensitivity Analysis. We then explain how this methodology naturally extends to nonlinear dimension reduction, e.g. when the function is not constant along a subspace but along a low-dimensional manifold.

We consider general classes of nonlinear Schr\"odinger equations on the circle with nontrivial cubic part and without external parameters. We construct a new type of normal forms, namely rational normal forms, on open sets surrounding the origin in high Sobolev regularity. With this new tool we prove that, given a large constant $M$ and a sufficiently small parameter $\varepsilon$, for generic initial data of size $\varepsilon$, the flow is conjugated to an integrable flow up to an arbitrary small remainder of order $\varepsilon^{M+1}$. This implies that for such initial data $u(0)$ we control the Sobolev norm of the solution $u(t)$ for time of order $\varepsilon^{-M}$. Furthermore this property is locally stable: if $v(0)$ is sufficiently close to $u(0)$ (of order $\varepsilon^{3/2}$) then the solution $v(t)$ is also controled for time of order $\varepsilon^{-M}$. (Joint work with Erwan Faou and Joackim Bernier)

Dans cet exposé, on s'intéressera à l'étude de certaines propriétés spectrales des opérateurs de Kramers-Fokker-Planck qu'on notera KV. Je parlerai en particulier des résultats issus d’un travail en commun avec Francis Nier et Joe Viola sur le cas des opérateurs KV avec potentiel polynomial V de degré inférieur à 3. Je présenterai aussi mes derniers résultats sur un critère de compacité de la résolvante de K_V dans un cas plus général qui concerne une certaine classe de polynômes de degré supérieur à 2.