L'équation différentielle $y'(z)=\frac{1/2}{z} y(z)$ a pour solution la fonction $z^{1/2}$. Lorsque l'on tente de définir cette expression comme une fonction sur $\mathbb{C}$, on doit se resteindre à un sous-ensemble simplement connexe ne contenant pas le point $0$ : on est face à un problème de monodromie.

La correspondance de Riemann--Hilbert nous dit qu'il existe un seul système différentiel singulier régulier dont les solutions vérifie une certaine donnée de monodromie.

Le but de cet exposé est de motiver cette correspondance puis d'expliquer comment en déduire le théorème de Birkhoff--Grothendieck sur la structure des fibrés vectoriels sur la sphère de Riemann.

In a joint work with V. Kharlamov, we explained how one may count real lines on real hypersurfaces (when their number is generically finite) with signs, so that the sum is independent of the choice of a hypersurfaces. These signs were assumed conjecturally to be equal to some multidimensional version of Welschinger weights. After elaborating this version of the weights, we proved this conjecture. We developed also a more geometric way of calculation : using the idea of Segre, who introduced two species of real lines on a cubic surface : hyperbolic and elliptic.

Un chromosome est composé de deux brins d'ADN accrochés entre eux, formant la structure de double-hélice bien connue. Lorsque l'on augmente la température, les deux brins se détachent partiellement (voire complètement) l'un de l'autre, phénomène que l'on appelle la "dénaturation" de l'ADN. Le modèle de Poland-Scheraga introduit dans les années 70 permet de modéliser mathématiquement ce phénomène, et a même été étendu pour étudier des systèmes d'accrochage de polymères dans une plus grande généralité. L'objectif de cet exposé est d'étudier précisément ce phénomène de dénaturation de l'ADN, pour par exemple obtenir des propriétés macroscopiques du système à partir de cette modélisation.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur la décroissance exponentielle du semi-groupe associé à l’opérateur de Fokker-Planck avec un champ magnétique extérieur, dans des espaces de Banach avec un poids polynomial. J’introduirai d’abord la méthode d’hypocoercivité avec un poids exponentiel, puis j’expliquerai la théorie d’élargissement d’espace de Banach.

On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu’il existe une infinité de plongements non équivalents. Certains d’entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Mais nous introduisons aussi un invariant plus fin dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz).

La topologie des variétés réelles est un domaine très intéressant qui a connu un essor considérable, surtout depuis les années 70. Dans cet exposée, je présenterai beaucoup d'exemples pour comprendre une des façons d'étudier cette branche des mathématiques. Si le temps le permet, je voudrais aussi présenter l'idée derrière mon projet de thèse.

Nous parlerons d’analyse harmonique sur certains groupes discrets: les groupes hyperboliques. Nous définirons des fonctions sphériques, inspiré par la définition de telles fonctions sur les groupes de Lie semisimple, sur un groupe hyperbolique à l’aide de son bord de Gromov et de la classe de mesure de Patterson-Sullivan. Ces fonctions sont associées à des représentations provenant de l’action du groupe sur son bord. Nous étudierons la décroissance remarquable de telles fonctions, ainsi que certaines inégalités spectrales associées aux représentations. On mentionnera également certaines application de ces inégalités sur l’irréductibilité de certaines représentations.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant le problème de Cauchy pour les ondes non linéaires avec données aléatoires et/ou une force stochastique en dimension deux. Après avoir expliqué la construction de la mesure de Gibbs associée au Hamiltonien de l'équation et la nécessité de renormaliser, je présenterai un schéma de preuve du caractère bien posé dans le cas particulier du tore. Enfin, j'expliquerai comment contourner l'approche classique par analyse de Fourier de la construction des objets stochastiques principaux afin d'étendre ces résultats à une surface compacte sans bords plus générale.