Un résultat récent de Ben Ovadia permet de coder les difféomorphismes réguliers de variétés compactes par des décalages de Markov. J'expliquerai comment on peut localiser ces codages sur les classes homoclines mesurées en utilisant notamment ce qu'avec Mike Boyle nous avons appelé la propriété de Bowen. J'en déduirai un résultat d'unicité locale de la mesure d'équilibre définie par le formalisme thermodynamique.

Travail en collaboration avec Sylvain Crovisier et Omri Sarig.

Ces dernières années ont vu le développement de l’étude d’espace métrique à la marge des variétés riemanniennes: variétés sous-riemanniennes, variété presque riemanniennes, ou bien limite de variétés riemanniennes. Pensons aussi aux variétés Finsler, ou pseudo-riemannienne qui sont en un sens plus générales que les variétés riemanniennes. Une question que l’on retrouve est la recherche d'une définition d’une notion de courbure adaptée à ces situations. Dans cet exposé nous voulons faire un petit tour subjectif de notions qui nous paraissent pertinentes en suivant quelques exemples qui nous semblent parlant.

We present a new proof of the dimensionless $L^p$ boundedness of the Riesz vector on manifolds with bounded geometry. The key ingredients of the proof are sparse domination and probabilistic representation of the Riesz vector. This type of proof has the significant advantage that it allows for a much stronger conclusion, giving us a new dimensionless weighted $L^p$ estimate.

Partons du système dynamique suivant. Soit $G=\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ et $\Gamma$ un sous-groupe discret, Zariski dense de $G$, agissant proprement discontinuement sur $\mathbb{H}^2$ et de covolume infini. L'action par multiplication à droite du sous-groupe des matrices diagonales $A$ sur $\Gamma \backslash G$ s'identifie alors à l'action du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent $T^1 \Gamma \backslash \mathbb{H}^2$. Il est alors bien connu que cette action est topologiquement mélangeante sur son ensemble non-errant.

Que se passe-t-il lorsque $G= \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$, ou plus généralement pour un groupe de Lie semisimple réel linéaire de type non-compact de rang réel quelconque ? Dans un travail commun avec Olivier Glorieux, nous avons obtenu une condition nécessaire et suffisante de mélange topologique pour les flots directionnels des chambres de Weyl.

Je présenterai dans cet exposé les principales idées de la preuve de ce Théorème de mélange.

Dans la première partie, on considérera un système dynamique fibré analogue aux rotations sur le cercle, et on identifiera la condition (asynchronicité) qui est l'analogue de l'irrationalité de l'angle de rotation. Dans une deuxième partie, on exhibera un exemple non trivial qui vient naturellement de la dynamique homogène, et en quoi ces considérations peuvent aider pour démontrer l'ergodicité de certaines transformations homogènes sur l'espace des grilles au dessus de l'espace des réseaux.

Il est connu que la structure de contact standard sur le projectif, obtenue par quotient de la structure de contact standard sur la sphère, est remplissable fortement mais pas de Weinstein. Je montrerai qu'elle n'est pas remplissable de Liouville non plus, c'est à dire elle n'admet pas un remplissage fort dont la forme symplectique est exacte. En fait, en étudiant les dégénérescences d'un espace de modules de sphères holomorphes, je montrerai que tout remplissage fort de la structure standard sur le projectif réel de dimension cinq contient une sphère symplectique. Il s'agit d'un travail en cours avec Klaus Niederkrüger.

Burns et Katok ont conjecturé en 1985 que le spectre marqué des longueurs d'une variété riemannienne à courbure sectionnelle strictement négative — la suite des longueurs des géodésiques périodiques, repérées par leur classe d'homotopie libre — déterminait la métrique à isométrie près. Croke et Otal ont démontré indépendamment la conjecture pour les surfaces en 1990 mais, depuis, la question est restée largement ouverte en dimension supérieure. Je présenterai une preuve d'une version locale de la conjecture, valable en dimension quelconque et, sous certaines hypothèses, dans le cadre plus général des variétés à flot géodésique hyperbolique (aussi appelé Anosov dans la littérature). Il s'agit d'un travail en collaboration avec Colin Guillarmou.