On s'intéresse à la simulation numérique de l'écoulement de particules dans un fluide de Stokes. La gestion des interactions entre particules proches est une question importante et délicate car, lorsque les particules se rapprochent, les champs de vitesse et de pression deviennent singuliers et il est difficile de les approcher numériquement. La méthode proposée ici décompose le problème fluide-particules en un problème singulier (dont la solution est supposée connu) et un problème régulier. Différentes approches pour obtenir le champ singulier ont déjà été proposées permettant d'obtenir des premiers résultats mais sur des particules sphériques ou avec des résultats se dégradant lorsque la distance entre les particules tend vers 0. Nous proposons ici une méthode, basée sur un développement asymptotique du champ singulier. Cette méthode permet de prendre en compte les effets de la lubrification sur les champs de vitesse et de pression dans tout le domaine et permet également la prise en compte de particules de formes quelconques. Nous présentons des résultats numériques basés sur une discrétisation éléments finis. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Aline Lefebvre-Lepot.

TBA

By a theorem of Karshon any compact four-dimensional symplectic manifold with a Hamiltonian $S^1$ action has a compatible $S^1$-invariant Kaehler structure. Taking a product of $S^2$ with a non-Kaehler symplectic 4-manifold one immediately constructs a counter-example to such a statement in dimension 6. However, in case one imposes the condition on the action to have only isolated fixed points, such a counter-example was unknown. In a joint work with Nick Lindsay I prove the existence of such a 6-dimensional example with $b_2=2$. This is a minimal such example, since by the work of Tolman and McDuff in the case $b_2=1$ the symplectic 6-manifold has a compatible Kaehler structure.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche pour construire des exemples de fibrés holomorphes munis de métriques d'Hermite-Einstein. On étudiera à cette fin la descente de fibrés holomorphes sous réduction symplectique, en partant du cas torique. À l'aide de la correspondence de Kobayashi-Hitchin, on en déduira un critère combinatoire pour comparer des espaces de modules de fibrés stables sur des variétés toriques reliées par des quotients GIT.

L'équation KPZ modélise le comportement d'une dynamique de croissance de surface aléatoire. Introduite par Kardar, Parisi et Zhang en 1986 pour étudier le comportement de surfaces séparant deux phases d'un système physique, il a fallu attendre plusieurs années avant que Hairer ne développe des outils appropriés pour donner un sens direct à la solution de l'équation. Il se trouve que l'équation KPZ est intimement liée au modèle de polymères dirigés en environnement aléatoire, lequel décrit le comportement d'une longue chaine de particules qui s'étend dans un milieu où se trouvent des impuretés tirées aléatoirement. Supposant par exemple que les particules essaient d'éviter les impuretés, on est alors intéressé par le comportement de la chaîne à grande échelle. Dans cet exposé, j'expliquerai en quoi consiste le lien entre les modèles et je présenterai certains des résultats obtenus pendant ma thèse qui exploitent cette correspondance.

Pour étudier le système de Keller-Segel dans sa forme parabolique, on propose un système de particules stochastique avec une interaction inhabituelle : chaque particule interagit avec le passé de toutes les autres par l’intermédiaire d'un noyau espace-temps fortement singulier. On montrera l'existence et la propagation de chaos pour ce système dans le cas unidimensionnel. On discutera les résultats numériques dans le cas bi-dimensionnel et pourquoi les techniques de preuves développées en d=1 ne s’appliquent pas ici. Nous énoncerons aussi un résultat d’existence et unicité pour l’EDS non-linéaire au sens de McKean sous des conditions explicites sur les paramètres du modèle dans le cas bi-dimensionnel.

La percolation de dernier passage dirigée est, classiquement, un modèle de croissance dans le quart de plan discret. Pour croitre de la case (i, j), il faut que les cases (i−1, j) et (i, j −1) soient présentes dans notre amas de croissance, puis attendre un temps al ́eatoire τ(i,j). Ce modèle est notemment intéressant pour modéliser le temps d’asséchement d’un terrain. Dans cet exposé, je présente une généralisation de la percolation de dernier passage dirigée dans le cas où le temps à attendre τ(i,j) dépend des temps d’arrivée des cases (i−1,j) et (i,j−1) dans l’amas et je présente ce modèle non pas comme un modèle de croissance dans le quart de plan, mais dans un cylindre de taille L. Dans le cylindre, il apparait ainsi une ligne de front pour notre amas. L’objet de cet exposé va être d’étudier deux propriétés asymptotiques (en temps) de cette ligne de front: sa vitesse et sa forme. Nous verrons que, dans des cas particuliers dits solubles ou intégrables, cette vitesse et cette forme ont une forme explicite en fonction des paramètres du modèle. Puis, j’expliquerai par quelle magie ces cas sont solubles, alors que les autres ne les sont a priori pas.

The simplex Hilbert transform is a singular integral form related to the multilinear Hilbert transform and Carleson’s operator. Boundedness of the simplex Hilbert transform is is one of the major open problems in harmonic analysis. In this talk we discuss bounds for a superposition of simplex Hilbert transforms in low dimensions, and related singular integral forms. Joint work with Joris Roos.

We want to identify and describe the mathematical structure of sparsity in high-dimensional problems. Systems that depend on a large number of variables are known to suffer from the curse of dimensionality: their complexity generally grows exponentially in the number of variables. Nevertheless, decades of research have shown that in many cases such systems can be accurately approximated with polynomial complexity.Perhaps the most studied phenomena in this context are entangled quantum mechanical systems obeying are laws.In such case, the information content scales much slower than the size of the system. In this talk we will discuss the links between entropy area laws and low-rank approximation. We will see how a PDE operator with local (NNI) structure admits eigenfunctions with favorable approximation properties.This will lead to an area law for the system states described by the eigenfunctions.