Le but de cette thèse est de construire et analyser des schémas numériques capables de discrétiser les solutions de systèmes de lois de conservation hyperboliques avec terme source. La propriété principale recherchée dans ces travaux est la préservation de l’asymptotique, c’est-à-dire que les schémas développés doivent rester précis en régime de diffusion, à savoir en temps long et terme source raide. La première partie de cet exposé est consacré à la présentation d’un résultat de convergence numérique rigoureux pour un schéma discrétisant les solutions du p-système. Le taux de convergence ainsi obtenu est exprimé explicitement et est en accord avec les résultats déjà connus dans les cadres continu et semi-discret. La seconde partie de cet exposé est dédiée à la présentation de deux schémas préservant l’asymptotique pour les équations de Saint-Venant avec terme source de friction de Manning. La première méthode exposée constitue une généralisation du schéma HLL perturbé proposé par Berthon et Turpault afin de traiter les termes sources de forme quadratique tandis que la deuxième méthode de construction permet de préserver à la fois tous les états stationnaires et la limite de diffusion.

Dans cet exposé, on s'intéressera à des sous-variétés algébriques aléatoires dans la sphère euclidienne de dimension $n$. Ces sous-variétés sont obtenues comme lieu d'annulation de polynômes homogènes aléatoires de degré $d$ en $n+1$ variables, distribués selon une loi dite de Kostlan. On énoncera d'abord deux résultats donnant les asymptotiques de la moyenne et de la variance du volume de ces sous-variétés, lorsque $d\to\infty$. En dimension ambiante $n=1$, l'objet qui nous intéresse est l'ensemble des racines d'un certain polynôme aléatoire sur le cercle. Dans ce cas, on obtient une loi forte des grands nombres et un théorème central limite pour ce nombre de racines, dans la limite des grands degrés. Plus généralement, ces résultats sont valables pour un modèle de sous-variétés algébriques aléatoires dans une variété projective réelle. Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec M. Ancona et M. Puchol.

Les variétés de Gromov-Thurston sont les premiers exemples de variétés compactes à courbure négative n'admettant pas de métrique localement symétrique. La question de savoir si elles admettent une métrique d'Einstein (i.e. à courbure de Ricci constante) à courbure sectionnelle négative est fréquemment posée dans la littérature.

Ce groupe de travail étudie l'article de Fine et Premoselli (https://arxiv.org/abs/1802.00608), où il est montré qu'en dimension 4 une sous-famille infinie de ces variétés de Gromov-Thurston admet bien une métrique d'Einstein.

Dans ce exposé préliminaire, je présenterai les grandes lignes du problème et de l'article, ainsi qu'une liste possible d'exposés à répartir entre les participants intéressés.

CE SÉMINAIRE EST ANNULÉ (grève contre une réforme des retraites)

Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.

Le système de Serre-Green-Naghdi (SGN) est un modèle fortement non-linéaire et faiblement dispersif pour la propagation des vagues. Il possède une structure Hamiltonienne, et le problème de Cauchy est bien posé dans des espaces de Sobolev d'indice suffisamment élevé. Pour autant, ce système n'est pas exploitable pour une utilisation dans des cas pratiques, parce que sa résolution numérique demande d'inverser un opérateur elliptique à chaque pas de temps. Nicolas Favrie et Sergey Gavrilyuk ont récemment proposé une stratégie pour construire efficacement des solutions approchées, via un système quasilinéaire de lois de bilan utilisant des variables additionnelles et un paramètre libre. Formellement, les solutions du système augmenté convergent vers les solutions de SGN lorsque ce paramètre tend vers l'infini. Nous discuterons une démonstration rigoureuse, en insistant sur l'importance du paramètre d'eau peu profond et de la préparation de la donnée initiale. Nous utiliserons des outils classiques de la théorie des limites singulières (typiquement bas Mach), adaptés à notre cadre où deux paramètres singuliers cohabitent, et à la présence de termes sources d'ordre zéro.

Soit (M,g) une variété riemannienne compacte. Sur M, le laplacien a un spectre discret (\lambdak)kauquel est associée une famille orthonormée de fonctions propres (\psik)k. La relation entre le comportement asymptotique de psik lorsque k tend vers l'infini et la dynamique du flot géodésique sur M présentent des liens étudiés depuis bientôt 70 ans. Ces liens permettent, sous certaines hypothèses dynamiques, d'obtenir de l'information précise sur le comportement des \psik. Je présenterai un programme visant à étudier les fonctions \psik sur une variété à courbure négative, en les comparant à des fonctions aléatoires dont les statistiques ponctuelles sont gaussiennes. Je parlerai de résultats visant à rendre cette comparaison rigoureuse, ainsi que de résultats sur ces fonctions aléatoires et leurs applications possibles à l'étude des \psik.

Les opérateurs quadratiques accrétifs sont des opérateurs différentiels non-autoadjoints définis comme le quantifié de Weyl de formes quadratiques définies sur l’espace des phases, à valeurs complexes et de parties réelles positives. Dans cet exposé, on s’intéressera aux propriétés régularisantes en temps courts des semi-groupes engendrés par ces opérateurs sur L2(Rn). Deux méthodes seront présentées. La première se base sur l'étude du symbole de Weyl des opérateurs d’évolution engendrés par les opérateurs quadratiques accrétifs (donnée par la formule de Mehler). La seconde, issue d’un travail en commun avec Joackim Bernier, consiste à décrire la décomposition polaire de ces opérateurs d’évolution pour se ramener à étudier des opérateurs autoadjoints. La motivation principale de ce travail vient de l’étude de la contrôlabilité à zéro des EDP paraboliques associées aux opérateurs quadratiques accrétifs, posées sur tout l’espace, dont on parlera rapidement.