Je parlerai de plusieurs problèmes énumératifs (dans le cadre complexe ou réel), en particulier, celui du dénombrement de droites sur une surface lisse de degré 4 dans l'espace projectif de dimension 3 et celui du dénombrement de plans sur une hypersurface cubique lisse dans l'espace projectif de dimension 5. Dans ces deux cas, le problème énumératif étudié peut être réduit à des questions arithmétiques concernant certains réseaux.

Au cours de cet exposé on présentera les ensembles simpliciaux et dendroidaux. Ce sera le prétexte idéal pour faire passer de la théorie des catégories en contrebande. On s'attachera ensuite à montrer comment les utiliser pour formaliser des notions de structures à homotopie près, la rencontre entre l'algèbre et la topologie. Cet exposé sera truffé de dessins et s'efforcera de faire passer les intuitions derrière l' "absurdité abstraite".

Certaines équations de Schrödinger non linéaires admettent pour solutions des ondes progressives solitaires. On s’intéressera à l’existence et à la stabilité de telles solutions pour l'analogue discret de ces équations. Je vous présenterai comment la discrétisations de la non linéarité induit une inhomogénéité rendant impossible, a priori, l’existence d’ondes progressives. Enfin, je vous expliquerai comment les instabilités qu’elle engendre peuvent être contrôlées pour permettre le déplacement, sur de longues distances, d’ondes solitaires approchées.

Les modèles de spin avec contraintes cinétiques constituent une classe de modèles de mécanique statistique qui ont été introduits par les physiciens pour décrire le comportement du verre. Il s’agit de modèles de configurations sur des graphes dans lesquels chaque sommet du graphe est soit à l’état 0, soit à l’état 1, et ne peut changer d’état que si une contrainte de la forme « il y a assez de zéros dans le voisinage du sommet » est satisfaite. Il existe une infinité de contraintes possibles, et les propriétés d’un modèle dépendent fortement du choix de sa contrainte. Une question très importante est donc celle de l’universalité : peut-on répartir cette infinité de modèles en un nombre fini de classes selon leur comportement ? Dans cet exposé, on présentera un tel résultat lorsque le graphe de base est Z^2.