Nous montrons qu'en dimension supérieure ou égale à 3, il n'y a pas unicité pour le problème de Calderón local pour des métriques Riemanniennes à coefficients Hölder continus. Nous construisons des contre-exemples à l'unicité dans le cas de variétés toroïdales (M,g). Les coefficients de ces métriques sont lisses à l'intérieur de ces variétés et sont seulement Hölder continus sur le bord où sont effectuées les mesures. Plus précisément, nous montrons qu'il existe dans la classe conforme de g une infinité de métriques (\tilde{g} = c^4 g) telles que les applications Dirichlet-Neumann locales sur un bord coïncident. Les facteurs conformes correspondants sont harmoniques par rapport à la métrique g, mais ne vérifient pas le principe de prolongement unique.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Thierry Daudé (Université de Cergy-Pontoise) et Niky Kamran (McGill University).

We consider a class of quasi-linear, Hamiltonian Schrödinger equations on the d dimensional torus. We discuss the problem of existence and unicity of classical solutions of the Cauchy problem associated to the equation with initial conditions in the Sobolev space H^s, with s large. We also present results about the lifespan and stability of small solutions. The proofs of such results involves techniques of para-differential calculus combined with normal form theory.

On considère l'équation des ondes posée sur R^+ avec amortissement linéaire. Xin et Xu ont étudié ce problème et ont exhibé l'ensemble des conditions au bord x=0 pour lesquelles la solution est stable indépendamment de la force de l'amortissement. Notre but est de proposer une méthode numérique dont la stabilité est acquise pour le même ensemble de conditions au bord. On montrera les résultats obtenus avec la méthode de sommation par partie et avec la méthode de condition transparente. Ce travail est effectué en collaboration avec Benjamin Boutin et Thi Hoai Thuong Nguyen

In this talk, we will present an overview of recent works aiming at solving inverse problems (state and parameter estimation) by combining optimally measurement observations and parametrized PDE models. After defining a notion of optimal performance in terms of the smallest possible reconstruction error that any reconstruction algorithm can achieve, we will present practical numerical algorithms based on nonlinear reduced models for which we can prove that they can deliver a performance close to optimal.

Sur une variété riemannienne orientée compacte, notons $\lambda_1^{(k)}$ la première valeur propre positive du Laplacien de Hodge agissant sur les $k$-formes différentielles Comment varie cette fonction de $k$ ? Je présenterai une formule de Verbitsky qui permet d'aborder cette question lorsque la variété possède une forme parallèle. C'est un travail en cours et en collaboration avec Junya Takahashi (Tohoku)

Je montrerai comment on peut construire des surfaces lagrangiennes, obtenues comme la limite d'un flot de gradient associé à une certaine application moment. La géométrie associée à cette application moment a la propriété de s'adapter facilement au cadre des surfaces polyédrales. L'équation d'évolution devient alors une simple équation différentielle ordinaire qui possède presque toutes propriétés agréables souhaitées (orbites bornées, stabilité générique des points fixes). Cette méthode permet de fabriquer des surfaces polyédrales lagrangiennes via des méthodes effectives, faciles à mettre en oeuvre sur un ordinateur.

Il s'agit d'un travail en commun avec David Tewodrose (Cergy). Nous démontrons qu'un espace métrique mesuré possédant un noyau de la chaleur euclidien est en fait isométrique à l'espace Euclidien. Ce résultat a pour conséquence immédiate un résultat de presque rigidité. Ceci permet de donner une preuve d'un résultat de Colding à propos des variétés complètes à courbure de Ricci positive ou nulle dont la croissance du volume est presque Euclidienne.

Après une présentation des techniques classiques employées pour l'étude des équations de Schrödinger linéaires et non-linéaires usuelles, on s'intéressera à une équation de Schrödinger non-linéaire particulière issue de la mécanique Bohmienne (théorie déterministe de la mécanique quantique) présentant deux non-linéarités logarithmiques : étude de solutions particulières (gaussiennes), existence locale de solutions, comportement en temps long, comportement numérique, etc... L'accent sera notamment mis sur le lien entre équation de Schrödinger et mécanique des fluides quantique.