Les nombres de Markov sont des entiers positifs qui apparaissent dans les solutions d'une équation diophantienne, la cubique de Markov x2 + y2 + z2−3xyz = 0. Sujet classique de la théorie des nombres, ces nombres sont liés à de nombreux domaines des mathématiques tels que la combinatoire, la géométrie hyperbolique, la théorie de l'approximation et les algèbres amassées.

Dans les années 50, H. Cohn a découvert une relation entre les nombres de Markov et les longueurs de géodésiques simples fermées sur le tore percé. Dans les années 90, avec Igor Rivin, nous avons introduit une méthode qui permet d'estimer le nombre de nombres de Markov inférieurs à $ L> 0 $. L'ingrédient clé en était l'utilisation d'une norme sur la première homologie du tore.

Dans cet exposé nous allons : - expliquer la géométrie de la norme et comment elle peut être utilisée pour prouver de nouvelles identités pour des longueurs de géodésiques fermées simples - utiliser la convexité pour donner une nouvelle preuve unifiée de certaines conjectures que Martin Aigner a formulées dans son livre, le théorème de Markov et 100 ans de la conjecture d'unicité.

https://www.lebesgue.fr/fr/content/seminars-jrna2021

Given a partial differential equation (PDE), its solutions can be difficult, if not impossible, to compute. The purpose of the Fundamental theorem of differential tropical (partial) algebraic geometry is to extract from the equations certain properties of the solutions. More precisely, this theorem proves that the support of the solutions (in $k[[t1, \cdots, tm]]$ with $k$ a field of characteristic zero) of a system of algebraic PDE can be obtained by solving a so-called tropicalized differential system.

Les singularités en épissure sont la classe la plus vaste que l'on connaisse de singularités intersections complètes de surfaces complexes dont le bord est une sphère d'homologie entière. Neumann et Wahl conjecturèrent que leurs fibres de Milnor peuvent se construire à partir de fibres de Milnor de singularités plus simples du même type. Je présenterai le contexte dans lequel ils formulèrent cette conjecture et j'expliquerai les étapes de la preuve obtenue en collaboration avec Maria Angelica Cueto et Dmitry Stepanov.