We study the approximation of multivariate functions on bounded domains with tensor networks (TNs). The main conclusion of this work is an answer to the following two questions that can be seen as different perspectives on the same issue: “What are the approximation capabilities of TNs?” and “What is the mathematical structure of approximation classes of TNs?”

To answer the former: we show that TNs can (near to) optimally replicate h-uniform, h-adaptive and hp-approximation. Tensor networks thus exhibit universal expressivity w.r.t. classical polynomial-based approximation methods that is comparable with more general neural networks families such as deep rectified linear unit (ReLU) networks. Put differently, TNs have the capacity to optimally approximate many function classes – without being adapted to the particular class in question.

To answer the latter: we show that approximation classes of TNs are (quasi-)Banach spaces, that many types of classical smoothness spaces are continuously embedded into TN approximation classes and that TN approximation classes themselves are not embedded in any classical smoothness space. Although approximation with TNs is a highly nonlinear approximation scheme, under certain restrictions on the topology of the network, the set of functions that can be approximated with TNs at a given rate is highly structured – it is a (quasi-)Banach space. Moreover, it is a very “large” space: many well-known classical smoothness spaces, such as isotropic/anisotropic/mixed Besov spaces, are embedded therein – while it also contains exotic functions that have no smoothness in the classical sense.

Mathieu Ribatet vous invite à une réunion Zoom planifiée.

Sujet : Séminaire Ali Mazen Heure : 26 janv. 2021 11:00 AM Paris

Participer à la réunion Zoom https://ec-nantes.zoom.us/j/94571681620

Classical approaches to multiple testing grant control over the amount of false positives for a specific method prescribing the set of rejected hypotheses. In practice many users tend to deviate from a strictly prescribed multiple testing method and follow ad-hoc rejection rules, tune some parameters by hand, compare several methods and pick from their results the one that suits them best, etc. This will invalidate standard statistical guarantees because of the selection effect. To compensate for any form of such ”data snooping”, an approach which has garnered significant interest recently is to derive ”user-agnostic”, or post hoc, bounds on the false positives valid uniformly over all possible rejection sets; this allows arbitrary data snooping from the user. We present two contributions: starting from a common approach to post hoc bounds taking into account the p-value level sets for any candidate rejection set, we analyze how to calibrate the bound under different assumptions concerning the distribution of p-values. We then build towards a general approach to the problem using a family of candidate rejection subsets (call this a reference family) together with associated bounds on the number of false positives they contain, the latter holding uniformly over the family. It is then possible to interpolate from this reference family to find a bound valid for any candidate rejection subset. This general program encompasses in particular the p-value level sets considered earlier; we illustrate its interest in a different context where the reference subsets are fixed and spatially structured. [Joint work with Pierre Neuvial and Etienne Roquain]

On étudie le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans un premier temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l'existence de résonances positives et d'une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans un second temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de Viriel au voisinage de l'infini. Ainsi, ces résultats couvrent le cas d'une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque.

Dans cette thèse, on étudie le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans la première partie, on s'intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l'existence de résonances positives et d'une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de Viriel au voisinage de l'infini. Ainsi, nos résultats dans les deux parties couvrent le cas d'une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque.

Exotic manifolds are smooth manifolds which are homeomorphic but not diffeomorphic to each other. Constructing exotic manifolds in dimension four has been an active research area in low dimensional and symplectic topology over the last 30 years. In this talk, we will first discuss major open problems and some recent progress in 4-manifolds theory. Then we will discuss our constructions of exotic 4-manifolds via pencils of complex curves of small genus and via symplectic and smooth surgeries. Some of our results that will be presented are joint with A. Akhmedov.