The Zakarov system is a simplified model for the description of long-wavelength small-amplitude Langmuir oscillation in a ionized plasma. Langmuir waves are rapid oscillations of the electron density. In our case we study a stochastic version of the Sakharov system, which means a Zakharov system perturbed by a sochastic noise. In this talk, I will try to explain the general study plan for a Partial Differential Equation (PDE), then I will introduce some stochastic tools to show how it is possible to gather deterministic and stochastic theories to solve our problem.

Nous montrons qu'une variété riemanienne à poids $(M,g,\mu)$ qui admet une inégalité de Faber-Krahn relative vérifie une égalité à la "Fefferman-Phong" : $$\forall \psi\in \mathcal{C}^1_0(M)\colon\ \int_M V\psi^2d\mu\le C \int_M |d\psi|^2d\mu$$ où la constante $C$ dépend d'une norme Morrey de V. Nous en déduisons une estimation sur le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger $\Delta-V$.

Variational discretizations are known for preserving key physical invariants in a natural way, leading to long-time stability properties. In this talk I will present a discrete action principle for the Vlasov-Maxwell equations that applies in a general structure-preserving discrete framework.

In this framework the finite-dimensional electromagnetic potentials and fields are represented in a discrete de Rham sequence involving general Finite Element spaces, and the particle-field coupling is represented by a set of projection operators that commute with the differential operators.

One application of this approach is a new variational spectral PIC method that has a discrete Hamiltonian structure and relies on particle-field coupling techniques very similar to those encountered in standard PIC schemes.

This is a joint work with Jakob Ameres, Katharina Kormann and Eric Sonnendrücker from the Max Planck IPP in Garching, Germany

Je présenterai quelques résultats sur l'équation de Schrödinger non linéaire 1D avec une non-linéarité de degré p>1. Je définirai des mesures sur l'espace des données initiales pour lesquelles nous pouvons décrire l'évolution non triviale par le flot linéaire de Schrödinger et montrer que leur évolution non linéaire est absolument continue par rapport à cette évolution linéaire. Nous déduisons de cette description précise des estimations de décroissance impliquant le caractère globalement bien-posé de l'équation pour p>1 avec scattering pour p>3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nicolas Burq (Université Paris-Saclay).

A morphism of smooth varieties of the same dimension is called real fibered if the inverse image of the real part of the target is the real part of the source. It goes back to Ahlfors that a real algebraic curve admits a real fibered morphism to the projective line if and only if the real part of the curve disconnects its complex part. Inspired by this result, in a joint work with Mario Kummer and Cédric Le Texier, we are interested in characterising real algebraic varieties of dimension n admitting real fibered morphisms to the n-dimensional projective space. We present a criterion to construct real fibered morphisms that arise as finite surjective linear projections from an embedded variety; this criterion relies on topological linking numbers. We address special attention to real algebraic surfaces. We classify all real fibered morphisms from real del Pezzo surfaces to the projective plane and determine when such morphisms arise as the composition of a projective embedding with a linear projection.

Un noeud tricot est un certain type de courbe dans l'espace dessinée au voisinage d'une courbe base. Un exemple typique est le noeud de trèfle dessiné sur le bord d'un tore (vu come voisinage tubulaire d'un cercle). On s'intéresse à des champs magnétiques dont l'unique ligne de champ est supportée par de telles courbes et aux opérateurs de Dirac associés. Ces champs s'apparentent à des solénoïdes de Aharonov-Bohm et présentent la même périodicité des flux des lignes de champ. En faisant tendre vers zéro l'épaisseur du voisinage tubulaire, le noeud tricot converge formellement vers la courbe base. On présentera dans cet exposé des résultats de convergence que l'on peut obtenir au niveau des opérateurs de Dirac et de leurs spectres.

(Travail effectué en collaboration avec Jan Philip Solovej)