We first show a dimensionless weighted $L^2$ estimate for the Bakry Riesz vector on Riemannian manifolds with bounded geometry by exhibiting a concrete Bellman function. Then, using a Gundy-Varopoulos type stochastic representation of the Bakry Riesz vector, we use a sparse domination with continuous parameter which offers a new dimensionless, sharp $L^p$ estimate in the weighted setting.

Cet exposé porte sur des discrétisations particulières des équations de Saint-Venant avec terme source de friction. Dans une première partie je présenterai le problème homogène ainsi que le problème de Riemann associé pour lequel on discutera de l'admissibilité des solutions faibles. Ensuite je présenterai un schéma développé de façon à préserver une certaine asymptotique. Cette dernière correspond aux solutions du problème dans le régime du temps long et de la friction dominante. Cette méthode, proposé par Berthon et Turpault, est usuellement utilisée dans le cas d'un terme source linéaire en la vitesse. Ici il est quadratique, c'est pourquoi l'extension proposée est loin d'être triviale. Pour finir, et si le temps le permet, je vous présenterai un second schéma construit, lui, pour préserver les états stationnaires (on dira qu'il est well-balanced). On montrera alors que ce schéma, correspondant à celui proposé par Victor Michel-Dansac (avec une modification ne perturbant pas le caractère well-balanced), préserve également l'asymptotique.