Les variétés singulières apparaissent naturellement en géométrie quand on considère des quotients de variétés lisses, leurs limites de Gromov-Hausdorff ou des flots géométriques. Un question importante dans l’étude de ces variétés singulières consiste à définir des notions de courbure, et de bornes de courbure, pertinentes. Les travaux de Lott-Sturm-Villani et Ambrosio-Gigli-Savaré ont montré qu’on peut définir une condition de courbure-dimension sur des espaces métriques mesurés, qui correspond à une borne inférieure sur le tenseur de Ricci dans le cas des variétés lisses. Si certaines constructions sur les variétés (quotients, cônes, suspensions sphériques…) donnent des exemples d’espaces qui satisfont cette condition de courbure-dimension, il n’existe pas de critère pour établir si une variété avec des singularités très simples possède une borne synthétique sur la courbure de Ricci. Dans cet exposé nous présentons un critère géométrique pour établir si un espace stratifié satisfait le condition de courbure-dimension : cela donne une ample classe de nouveaux exemples, qui inclut entre autres les variétés à singularités coniques.Cet exposé se base sur un travail en commun avec C. Ketterer, J. Bertrand et T. Richard.

Pour les méthodes de volumes finis comme pour les méthodes mixtes, on calcule des flux. Pour les problèmes de diffusion, ces flux sont reliés au gradient du champ scalaire. Quel sens donner au gradient dans un cadre discret où le champ scalaire n'est pas dérivable (par exemple constant par mailles) ? On aborde cette question dans un cadre élément fini de type Petrov-Galerkin. L'objectif est d'avoir (comme en volumes finis) un calcul local des flux, tout en bénéficiant d'un cadre élément fini où les solutions discrètes sont aussi des fonctions (scalaires et vectorielles). Cette approche a permis d'élaborer de nouveaux schémas numérique pour le problème du Laplacien que l'on présentera.

The floating body problem on a large space scale is considered. It is motivated by applications for geophysical phenomena such as flows under the ice floe or in sewers, floating icebergs and renewable energy production using wave energy converters. A shallow water model with a supplementary congestion constraint is derived from the Navier-Stokes equations. The congestion constraint is a challenging problem for the numerical approximation of hyperbolic equations. The resolution proposed is based on a pseudo-compressible relaxation of the constraint. The energy transfer between the fluid and the solid is focused on since it is of major interest for energy production. We proof the dissipation of the mechanical energy at the discret level for the fluid-structure interaction. We perform several numerical validation to illustrate our results.

On s'intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies explicites à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est limité à celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique du type Dirichlet homogène. Sous les hypothèses habituelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret, nous discuterons de la possible description qualitative de la solution numérique dans différentes situations. Celle-ci permet d'obtenir une estimation de semi-groupe pour le schéma, compatible à la limite avec celle de la solution du problème aux limites hyperbolique.

Les estimées de type Euclidiennes du noyau de la chaleur sur les variétés complètes non-compactes sont bien comprises, : elles sont essentiellement équivalentes a des inégalités de type isopérimétrique (par exemple l’inégalité de Sobolev) sur la variété.En ce qui concerne le gradient du noyau de la chaleur, des estimées de type Euclidiennes sont vraies sur les variétés à courbure de Ricci positive, mais peu est connu sous des hypothèses de courbure plus générales. Dans cet expose, nous présenterons des résultats récents concernant les estimées du gradient du noyau de la chaleur, sur des variétés ayant courbure de Ricci “presque” positive a l’infini.

Multiscale coupling of nonlinear distributed and lumped fluid flow models is often necessary when modeling complex biological vascular systems. When interested in studying in details a specific segment of the vasculature, usually, to reduce simulations costs, a distributed partial differential equations (PDEs) model is used to simulate the segment of interest, while the rest of the vasculature is approximated using a lumped ordinary differential equations (ODEs) model. We propose a new splitting approach to numerically solve this multiscale problem in an efficient, accurate and affordable manner. The main novelty of the splitting scheme is that it ensures that the energy of the semi-discrete problem mirrors the behavior of the energy of the fully coupled problem. As a result, unconditional stability with respect to the time step choice is ensured without the need of sub-iterating between PDE and ODE sub-steps. We next illustrate the capabilities of this framework by applying it to the development of a multiscale model describing the coupled dynamics of different biofluids in the brain and in the eye.

Dans un contexte industriel, l'utilisation de modèles diphasiques d'ordre réduit est nécessaire pour pouvoir effectuer des simulations numériques prédictives d'injection de combustible liquide dans les chambres de combustion automobiles et aéronautiques. En effet, le processus d'atomisation du combustible, depuis sa sortie de l'injecteur sous un régime de phases séparées, jusqu'au brouillard de gouttelettes dispersées, est un paramètre important de la qualité de la combustion et de la formation des polluants. Aujourd'hui cependant, la prise en compte de toutes les échelles physiques impliquées dans ce processus nécessite une avancée majeure en termes de modélisation, de méthodes numériques et de calcul haute performance. Ces trois aspects sont abordés dans des travaux réalisés au laboratoire EM2C de CentraleSupélec, au laboratoire CMAP de l'Ecole Polytechnique et à la Maison de la Simulation.

En particulier, des modèles de mélange Eulériens pour les écoulements à phases séparées sont dérivés à partir du principe variationnel de Hamilton et prennent en compte des effets de pulsation de l'interface au niveau des échelles non résolues, compatibles avec la description de milieux à bulles. De plus, une description générale des interfaces à l'aide d'une statistique de leurs propriétés géométriques permettra de coupler les modèles de mélange pour phases séparées aux modèles cinétiques utilisés pour décrire la phase dispersée.

La stratégie de discrétisation des équations diphasiques est basée sur des méthodes de volumes finis d'ordres 1 et 2, un splitting d'opérateurs pour la résolution de la partie convective à l'aide de solveurs de Riemann approchés et l'intégration des termes sources par des solveurs d'EDO spécifiques. Cette stratégie comprend également l'utilisation de maillages adaptatifs (AMR). Grâce à la bibliothèque p4est, le code AMR développé pour la résolution des équations diphasiques, CanoP, permet de réaliser des calculs massivement parallèles. Une première application d'écoulements interfaciaux à faible nombre de Mach a été étudiée. La généricité du code CanoP permettra par la suite d'intégrer facilement de nouvelles applications, en particulier pour la simulation du processus complet d'injection.