Dans ce travail, nous considérons le problème inverse de détection d’obstacle avec des données de Cauchy partielles pour l’équation de Laplace. Nous étudions ce problème en utilisant des méthodes d’optimisation de forme en minimisant une fonctionnelle de forme de type Kohn- Vogelius. Afin de pouvoir définir cette fonctionnelle, nous devons dans un premier temps compléter les données de bord. Ainsi, nous commençons par considérer le problème de complétion de données (i.e. le problème de Cauchy) que nous étudions également par minimisation d’une fonctionnelle de type Kohn-Vogelius. Étant donné le caractère mal posé de ce problème de Cauchy, nous utilisons une régularisation de la fonctionnelle d’énergie en ajoutant un terme de pénalisation. Après avoir montré quelques résultats de convergence pour le problème de Cauchy, nous présentons des reconstructions numériques de la solution et de l’obstacle à partir de mesures de bord partielles.

We propose to present some results on the approximation by DDFV (Discrete Duality Finite Volume) methods of the incompressible Navier-Stokes problem with open boundary conditions on the outflow. The advantage of DDFV schemes is to be able to work on general meshes that do not necessarily satisfy the classical orthogonality condition imposed on finite volume meshes. The boundary conditions we are interested in have been derived by a particular weak formulation of Navier-Stokes that ensures an energy estimate. We propose to recreate the same situation at a discrete level thanks to the DDFV formalism.

In this talk I will present some result about evolutionary dynamics of populations using nonlocal PDEs and free boundary model. I will first focus on the evolution of sexual or asexual population facing environmental change. Starting with a Individual based model, we obtain an analytical description of this microscopic model using nonlocal partial differential equations. In a special regime of "small mutation", we are able to approximate analytically the behavior of the microscopic model and we deduce qualitative as well as quantitative effect of the environmental change on the evolutionary dynamics of the population. In a second part, I discuss the problem of speed of adaptation of a population when beneficial mutation always occurs. We use a free boundary problem to describe the adaptation of a population to a new environment and we compare our results with the Wright-Fisher micrsocopic model.

Nous montrons que le foncteur de normalisation de la correspondance de Dold-Kan n'induit pas une équivalence de Quillen entre la catégorie de modèle des cogèbres simpliciales de Goerss et la catégorie de modèle des cogèbres différentielles graduées de Getzler-Goerss.

Nous avons calculé le groupe d'automorphismes (difféomorphismes feuilletés, et holomorphes entre les feuilles). Le calcul est fait par résoudre exactement une équation fonctionnelle sur la demi-droite fermée. L'équation est simple: le pull-back par un difféo contractant et considerer le problème de valeur propre sur les fonctions lisses sur la demi-droite. Ce type d'équation est connu comme l'équation de Schroeder. Il y a un cas delicat pour décrire la structure du groupe, concernant le problème no.5 de Hilbert. . L'équation est résolue par le théorème de variété centrale et aussi par l'expansion de Fourier avec la forme normale de Takens.

Comme l'équation de motion de fluide parfait sur la variete riemannienne compactes, l'équation d'Euler est dérive par Arnol'd comme un système completement integrable (mais de dimension infinie). Vers 1990 Michael Taylor a trouvé la terme (correcte) de viscosité à adjouter à l'équation d'Euler. Sur l'espace plat, il n'y a essentiellement qu'un choix de Laplacien, mais sur la variété avec courbure non-triviale ce n'est pas le cas. Laplace-Beltrami' etBochner' sont les deux Laplaciens bien connus qu'on peut définir pour champs de vectuer et la formule de Weizenboeck décrit ses différence comme la courbure de Ricci. Dans cet exposé la géométrie fondamentale pour dériver les équations sera expliquée et aussi quelques exemples élémentaires seront considerées. La terme de viscosité n'est égale ni à Laplace-Bertrami, ni à Bochner. L'etape finale de la dérivation est en fait une modification de celle de la formule de Weizenboeck.

Chern-Schwarz-Macpherson (CSM) classes are one way to extend the notion of Chern classes of the tangent bundle to singular and non-complete algebraic varieties. I will present a combinatorial analogue of CSM classes for matroids, motivated by the geometric case of hyperplane arrangements. The CSM classes of matroids are polyhedral fans which satisfy a balancing condition, in other words they are Minkowski weights. One goal for defining these classes is to express matroid invariants using the language of algebraic geometry and in turn use geometric intuition to study the properties of these invariants. The first example is the shifted characteristic polynomial of a matroid, which for graphical matroids is related to the chromatic polynomial. CSM classes can be used to study more general objects beyond the world of matroids, known as tropical manifolds. This is based on joint work with Lucia López de Medrano and Felipe Rincón.

Soit U la catégorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod modulo p. On note K(U) le groupe de Grothendieck de la catégorie des modules instables injectifs réduit de type fini. On peut montrer que la tensorisation par C de K(U) est une algèbre de polynômes. Dans cette exposé, on définira un famille de générateurs polynomiaux en utilisant le lien entre K(U) et les représentations modulaires des groupes linéaires sur le corps fini à p éléments. Cette famille a la propriété d'être formée de vecteurs propres pour l'action sur K(U) du foncteur T de Lannes. De plus, la simplicité de ces générateurs facilite les calculs et permet de répondre à certaines conjectures concernant les séries Poincaré des objets de U. Ceci est un travail en commun avec Nguyen Dang Ho Hai.