Le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré d à coefficients réels dépend du choix du polynôme. Plus généralement, étant donné un fibré en droites L au dessus d'une courbe définie sur les réels, le nombre de zéros réels d'une section de L dépend du choix de la section. Dans l'exposé, on s'intéressera aux sections réelles d'un fibré en droites au dessus d'une courbe et on comptera les zéros réels d'une section choisie au hasard.

Dans un premier temps, on parlera de géométrie des groupes. On essayera de voir comment on peut dessiner et représenter un groupe en tant qu'espace géométrique, notamment en introduisant les graphes de Cayley. On parlera ensuite du nombre de bouts d'un espace topologique en général, puis d'un groupe de type fini. On montrera alors le très joli résultat suivant (attribué à Freudenthal et Hopf): un groupe de type fini a soit 0, soit 1, soit 2 soit une infinité de bouts. Si le temps le permet, on parlera de la classification des groupes ayant 2 bouts et des groupes ayant une infinité de bouts.

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Giacomo Dimarco (Université de Ferrara) Raphael Loubère (CNRS, Université de Bordeaux) et Victor Michel-Dansac (Insa Toulouse).

Je présenterai un schéma Volumes finis implicite-explicite du second ordre pour le système d'Euler isentropique dans la limite bas Mach. Le schéma proposé est asymptotiquement stable avec une CFL indépendante du nombre de Mach. De plus il dégénère à la limite en une discrétisation consistante d'Euler incompressible.

On présente tout d'abord la classe de modèles multiphasiques considérée, dans un cadre barotrope, pour des composants non miscibles (eau liquide, vapeur d'eau, métal liquide, ...), et on donne les principales propriétés du modèle de base. On introduit ensuite le schéma à pas fractionnaires utilisé pour la simulation instationnaire du modèle, qui préserve la positivité des masses partielles et des taux de présence sous condition CFL.
Quelques cas tests de vérification, basés sur les solutions du problème de Riemann, seront présentés, ainsi qu'un cas de validation basé sur une expérience d'onde de choc venant impacter un lit de particules rigides (ou de gouttes). On discutera également les voies d'amélioration possibles, concernant les modèles et les schémas, ainsi que les extensions en cours d'examen.

L'objectif de cet exposé est de me présenter à l'ensemble du laboratoire. Etant géostatisticien dans une UMR dédiée aux écosystème marins, mon activité récurrente concerne la cartographie. Dans ce cadre, j'aborderai très succinctement les sujets qui m'intéressent actuellement qui ont trait aux approches spatio-temporelles, aux approches SPDE (Stochastic Partial Differential Equation) et à la cartographie des indices de biodiversité par simulations conditionnelles.

Le cœur de mon exposé concernera l'analyse de trajectoires de navires par méthodes HMM (avec inférence par algorithme EM dont nous avons testé la robustesse par simulation-estimation). Ces analyses basées sur des trajectoires individuelles s'ouvrent aujourd'hui à des approches par modèles graphiques pour comprendre les interactions qui se dégagent au sein de flottilles de navires.

En fin d'exposé, j'évoquerai une recherche que je souhaiterais développer autour de la théorie de la Relativité d'Echelle (Laurent Nottale). C'est un thème de recherche pour lequel des collaborations avec des spécialistes de physique-statistique ou des mathématiciens pourraient "probablement" se développer ...

L'approximation numérique de solutions peu régulières d'équations hyperboliques est un problème notoirement délicat (contrôle des oscillations, phénomène de Gibbs près des discontinuités, limiteurs de pente, ...). Je montrerai comment l'utilisation du Théorème de Lukacs permet de reformuler la question de l'approximation polynomiale d'ordre élevé préservant des conditions de signe: plus généralement il s'agit de rendre compatible des formulations issues de la géométrie algébrique réelle avec les besoins du calcul scientifique. Un nouvel algorithme avec de fortes propriétés de convexité sera détaillé. Une application à la construction d'un schéma avec limiteur illustrera l'approche générale.

Dans cet exposé, je m'intéresse à l'approximation numérique des problèmes hyperboliques non linéaires. Il est bien connu que la solution générique du problème de Cauchy pour un problème de ce type n'est même pas continue, en général, d'où la notion de solution faible. Il faut aussi rajouter un principe de sélection au moyen d'entropies, et donc des inégalités supplémentaires. Du point de vue numérique, la notion de solution faible se traduit, grâce au théorème de Lax Wendroff (1960), par la notion de flux qui donne aussi la forme que doit posséder un schéma numérique pour fournir des solutions convergeant vers une solution faible. Les contraintes d'entropies se traduisent simplement par des contraintes sur des flux liés à l'entropie. Depuis longtemps, la recherche se résume à construire des schémas, donc des flux, de plus en plus robustes, précis, .... Je revisiterai la notion de conservation, pour introduire une variante un peu plus générale qui permettra de démontrer un théorème à la Lax Wendroff, et de montrer que tous les schémas classiques, éléments finis compris, ont une forme par flux, avec une expression analytique des flux. Je montrerai aussi qu'elle permet de construire, à partir d'un schéma quelconque, un schéma, toujours localement conservatif, mais qui satisfait d'autres relations (ou inégalités) de conservation, l'exemple typique étant celui de l'entropie.