L'objectif de cette présentation est d'arriver à classifier les courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes. Après quelques rappels sur le groupe modulaire SL(2,Z) et sur le demi plan de Poincaré, nous commencerons l'étude des fonctions paraboliques associées à des tores complexes. L'apparition naturelle des séries d'Eisenstein nous donnera le premier exemple de formes modulaire. L'étude de l'espace engendré par ces fonctions, nous permettra de trouver un invariant permettant de trouver une correspondance entre le demi plan de Poincaré à l'ensemble des courbes elliptiques.

Les équations de Navier-Stokes constituent un modèle mathématique de base pour décrire le mouvement d'un fluide. Dans son célèbre article « Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace » publié dans Acta Mathematica en 1934, Jean Leray (1906-1998) introduit (entre autres) le concept de solutions faibles globales en temps en donnant une définition précise de ce qu'est une solution irrégulière du système, et montre qu'il existe une telle solution faible pour les équations de Navier-Stokes dans leur version incompressible et homogène (densité constante). On appelle maintenant « solutions à la Leray » ces solutions d'énergie finie. En 2007, J.-Y. Chemin donne un très bel exposé intitulé "Jean Leray et les fondements mathématiques de la turbulence" à la Bibliothèque Nationale de France:

                     http://smf.emath.fr/content/chemin-jean-yves-jean-leray-et-les-fondements-mathématiques-de-la-turbulence

qui fait suite à un très bel article qu'il a publié en 2004 pour les 70 ans de l'article fondateur de J. Leray paru dans Acta Mathematica: l'auditoire du colloquium est convié à consulter ces deux références.

Même si l'existence globale de solutions faibles apporte assez peu sur le caractère bien posé du système, une telle analyse a de nombreux intérêts pratiques. En plus de la signification physique (fondements de la turbulence), car la régularité supposée sur les données initiales est minimale et fortement liée à des quantités physiques bien identifiées, les propriétés de stabilité des solutions faibles du modèle continu aident à mieux comprendre comment construire des schémas numériques stables qui le plus souvent ne préservent pas les estimations de régularité forte.

Dans cette balade autour des équations de Navier-Stokes, j'essaierai de dresser un état de l'art sur les « solutions à la Leray ». Nous verrons notamment que nous sommes bien loin d'une théorie générale sur les versions compressibles et que de nombreux problèmes ouverts importants perdurent toujours même si des résultats fondateurs ont été obtenus ces 20 dernières années.

Nous commencerons par introduire des outils classique de systèmes dynamiques comme les droites de Brouwer et l'indice de Lefschetz d'un point fixe d'un homéomorphisme d'une surface. Nous verrons ensuite comment la théorie de Patrice Le Calvez permet d'aller plus loin dans la compréhension de tels homeomorphismes. Nous présenterons la notion de feuilletages equivariant et les théorèmes d'existence. Nous finirons alors par des applications pour illustrer cette théorie.