L'indice de Maslov non-linéaire est un quasimorphisme sur le revêtement universel du groupe des contactomorphismes de l'espace projectif. Il a été défini par Givental en 1990, et a été utilisé ensuite par différents auteurs pour obtenir des résultats de rigidité en topologie de contact (ordonnabilité, existence de métriques bi-invariantes non-triviales sur le groupe des contactomorphismes, existence de points translatés, existence de fibres toriques pré-lagrangiennes non-déplaçables). Dans cet exposé je vais rappeler la construction de Givental et ses applications, et je vais présenter une généralisation au cas des espaces lenticulaires.

We show that the mutant 2-component pretzel links P(p,q,-q,-p) and P(p,q,-p,-q) are not concordant for any distinct odd integers p and q greater than 1. As a corollary, we obtain a proof of the slice-ribbon conjecture for 4-stranded 2-component pretzel links. In order to distinguish mutant links up to concordance we consider 3-fold branched covers and use an obstruction based on Donaldson's diagonalization theorem. This is joint work with Min Hoon Kim, JungHwan Park and Arunima Ray.

Le but de mon exposé est de présenter des résultats obtenus avec Andrew Comech (Texas A&M) dans l’analyse de la stabilité asymptotique des états stationnaires de modèles de Dirac non linéaires.

Nous analysons par des méthodes de continuation unique et de bifurcation l’apparition d’instabilités linéaires depuis la limite non relativiste.

Dans cet exposé nous présenterons des contributions à la fois d’ordre théorique, numérique et allant jusqu’à des comparaisons avec l’expérience, autour de la modélisation du transport et du dépôt de particules. La motivation de ces recherches est l’étude de l’interaction fluide-particules dans le cadre de la respiration. Les sprays thérapeutiques ou les particules polluantes rentrent dans la catégorie des sprays fins et peuvent donc être décrits par des équations mésoscopiques de type cinétiques. Le système fluide-particules est alors un système qui couple fortement les équations de Navier-Stokes et l’équation de Vlasov. Pour ce type de système couplé, nous montrerons un résultat d’existence de solutions faibles dans le cas de domaines mobiles, avec des conditions d’absorption pour le spray (qui traduisent le dépôt de particules). Nous présenterons ensuite un schéma explicite permettant de simuler efficacement ce dépot. Nous montrerons numériquement que le dépôt peut être favorisé, pour des particules dont l’inertie est suffisamment grande, par la prise en compte de la force de rétroaction du spray sur le fluide. Cependant, compte tenu de la petite inertie des particules de certains spray thérapeutiques, cette rétroaction peut être négligée, découplant les équations fluides de la dynamique des particules. Enfin, des modèles permettant de décrire la dynamique de l’interaction fluide-particules au cours de tout le cycle respiratoire dans tous l’arbre bronchique seront introduits. Dans la partie proximale (3D) de l'arbre bronchique les particules sont décrites individuellement (description microscopique). Dans sa partie distale, l’évolution de la concentration des particules est régie par des équations mono-dimensionnelles de type advection-diffusion, qui prennent en compte les différents mécanismes de dépôt et en donnée d’entrée le débit de l’air. Ce débit d'entrée est calculé par les similations couplées 3D-0D de la partie fluide. Les modèles obtenus peuvent être calibrés de façon à prendre en compte les hérogénéités physiologiques, géométriques ou encore les spécificités des aérosols inhalés et donnent de bons résultats en comparaison avec des données expérimentales de dépôt obtenues sur des rats sains.

On finira la preuve du théorème de Gromov en montrant que tous les cônes asymptotiques d'un groupe à croissance polynomiale sont localement compacts, homogènes, connexes, localement connexes et de dimension finie. On montrera ensuite que si les cônes asymptotiques vérifient cette propriété, alors le groupe de départ est virtuellement nilpotent. Ces résultats reposeront sur le théorème de la croissance régulière, que l'on présentera également. Si le temps le permet, on discutera des résultats de Pansu : les cônes asymptotiques sont des groupes de Carnot.

La théorie géométrique des groupes associe aux groupes infinis des invariants dits asymptotiques ; parmi ceux-ci, le cône asymptotique, qui correspond à "l'image que l'on observerait depuis une distance infinie". Si deux groupes $G$ et $G'$ ont des cônes asymptotiques liés par un homéomorphisme bilipschitzien, celui-ci est-il toujours induit par une application entre $G$ et $G'$ respectant (dans un sens approché) leur structure métrique ? On donnera un sens précis à cette question dans le langage de la géométrie sous-linéairement lipschitzienne à grande échelle récemment introduite par Yves de Cornulier, et on examinera spécifiquement les groupes de Lie réels hyperboliques, que l'on comparera au cas (très différent) des groupes nilpotents.