On considère une fonction $u$ définie sur un ensemble $X$, muni d’une mesure de probabilité $\rho$. Le but est de construire l’approximation $u^*$ de cette fonction $u$ à partir d’observations de $u$ en certains points $(x_i)$, $i=1,…,n$, identiquement distribués selon la mesure $\rho$. Pour un espace d’approximation $V_m$ de dimension finie $m$, l’estimateur idéal de $u$ est donné par la projection orthogonale de $u$ sur $V_m$ au sens de la norme $L_2(X,\rho)$: $Pm(u)$. A cet estimateur idéal on associe l’erreur de meilleure approximation $em(u) = \| Pm(u) - u \|$.
Dans la pratique une méthode utilisée est l’estimation des moindres carrés pondérés, calculée à partir des $n$ échantillons. Cependant lorsque $n$ est trop proche de $m$, la dimension de l’espace d’approximation, la méthode des moindres carrés pondérés devient instable et inexacte pour certaines mesures de probabilité.
Pour un espace d’approximation $Vm$ donné et une mesure de probabilité $\rho$ donnée, comment choisir au mieux les $n$ échantillons dans l’espace d’approximation et les poids afin de s’assurer que l’erreur en norme $L2$, $\| u^* – u\|$, soit comparable à l’erreur de meilleure approximation $em(u)$ ?
