Le problème d'isotopie des tresses est un problème topologique. Pourtant grâce à plusieurs structures algébriques, nous exposerons la solution proposée par Dehornoy en 1995. Cette méthode, dite de réduction de poignée, résout complètement ce problème et peut être facilement implantée sur un ordinateur.

Cet exposé concerne le PageRank ou algorithme de Google, inventé à la fin des années 90 par Brin et Page pour mettre au point un moteur de recherche bien connu. Il attribuait un degré d'importance (indice alors appelé PageRank) à chaque page web, valeur dépendante du nombre de pages contenant un lien hypertexte pointant vers cette dernière ainsi que du PageRank de ces pages. On présentera les origines de l'algorithme puis son fonctionnement, basé sur de l'algèbre linéaire.

Reprise de l'étude des travaux d'Anantharaman-Zelditch sur le spectre des surfaces hyperboliques.

On dit qu'un groupe $G$ satisfait l'alternative de Tits si pour tout sous-groupe $H$ de $G$, ou bien $H$ est virtuellement résoluble, ou bien il contient un sous-groupe libre non abélien. Le théorème de Tits stipule que les groupes linéaires satisfont l'alternative de Tits.

On montrera le théorème de Tits dans le cas particulier des sous-groupes de $GL_2(\mathbb{R})$. La preuve s'appuiera sur la géométrie des isométries du disque hyperbolique.

On montrera qu'un groupe de type fini virtuellement résoluble à croissance polynomiale est virtuellement nilpotent. Il s'agit donc du sens direct du théorème de Gromov, lorsque l'on sait déjà que le groupe est virtuellement résoluble.

On introduira les groupes polycycliques.

On montrera le sens réciproque dans le théorème de Gromov: un groupe virtuellement nilpotent est à croissance polynomiale. On suivra la preuve de Tits donnée dans son séminaire Bourbaki de 1980 en introduisant la notion de f-croissance (associée à une filtration f).

On évoquera aussi les preuves de Wolf et Bass et celle de Pansu, vraiment différente, qui utilise la comparaison à la croissance des boules pour la métrique de Carnot-Carathéodory dans un groupe nilpotent de Carnot. Il y aura éventuellement un autre exposé dédié entièrement à cette preuve de Pansu.