On s'intéresse aux fréquences de résonances de cavités optiques bidimensionnelles présentes dans certains micro-résonateurs optiques et plus particulièrement aux modes de galerie: ce sont des modes localisés à la frontière de la cavité. Dans un premier temps nous allons voir comment calculer numériquement les résonances d'une cavité. Les résonances et modes sont solution d'un problème aux valeurs propres pour l'équation de Helmholtz dans l'espace tout entier, avec des conditions d'interface et d'ondes sortantes à l'infini. On va devoir modifier ce problème afin de pouvoir faire un calcul numérique mais cela va créer des modes parasite que l'on va devoir distinguer des modes résonants. Parmi les résonances, nous ne sommes intéressés que par celle à mode de galerie. Donc dans une deuxième partie nous verrons comment localiser les résonances à mode de galerie parmi les résonances grâce à des développements asymptotiques pour certain type de cavité.

Via deux exemples, j'essaierai de montrer comment la théorie des déformations isomonodromiques peut s'appliquer à des domaines de recherche assez variés. Le premier exemple concerne l'étude de certaines distributions de probabilité liées aux matrices aléatoires (distribution de Tracy-Widom et ses généralisations). Le deuxième la géométrie énumérative et, notamment, les nombres d'intersection sur l'espace de Deligne-Mumford des courbes stables (conjecture de Witten).

On commence par un rappel sur des notions d'analyse fonctionnelle. Ensuite, on élabore la théorie de l'élargissement. Finalement, on présente une application à l'équation de Fokker-Planck afin d'étendre le résultat de la décroissance exponentielle du semi-groupe près de l'équilibre global $µ$ dans l'espace de Lebesgue à poids $L^p(m)$.

We give simple conditions for a collection of rational homology spheres to be linearly independent in the rational homology cobordism group. These translate immediately to statements about knot concordance, recovering some results of Livingston and Naik. The key ingredient is correction terms (of either flavour). This is joint work with Kyle Larson.

In this talk I will introduce a class of Legendrian wavefronts associated to surface triangulations. First, I will explain the interplay between the Legendrian isotopy type and the combinatorics of the triangulation. In particular, we will be connecting symplectic geometry and graph theory. Then I will discuss the Floer theory of these wavefronts and provide a description of their dg-algebras. The talk will conclude with two geometric applications.

L'indice de Maslov non-linéaire est un quasimorphisme sur le revêtement universel du groupe des contactomorphismes de l'espace projectif. Il a été défini par Givental en 1990, et a été utilisé ensuite par différents auteurs pour obtenir des résultats de rigidité en topologie de contact (ordonnabilité, existence de métriques bi-invariantes non-triviales sur le groupe des contactomorphismes, existence de points translatés, existence de fibres toriques pré-lagrangiennes non-déplaçables). Dans cet exposé je vais rappeler la construction de Givental et ses applications, et je vais présenter une généralisation au cas des espaces lenticulaires.