Dans cet exposé je présenterai le jeu de cartes SET. Le but du jeu étant de trouver des combinaisons de trois cartes satisfaisant certaines propriétés. Un grand problème se pose alors : combien de cartes faut-il disposer sur la table pour être sûr d'avoir au moins une combinaison gagnante ? Je donnerai une reformulation de ce problème en géométrie affine sur le corps à trois éléments qui permet de répondre à la question. Je proposerai également des généralisations de ce jeu utilisant la géométrie projective finie.

It is well known that the Gauss map $T: [0,1] \setminus \mathbb{Q} \to [0,1] \setminus \mathbb{Q}$ given by $$T(x)= \frac{1}{x} \mod 1$$ has an absolutely continuous invariant probability measure $\muT$ given by $$\muT(A)= \frac{1}{\log 2} \int_A \frac{1}{1+x} dx.$$

Let $\mu{\mathbf{p}}$ denote the Bernoulli measure associated to the countable probability vector $\mathbf{p}$, projected to $[0,1]$ in the usual way. Kifer, Peres and Weiss showed that the Bernoulli measures for the Gauss map satisfy a \emph{dimension gap} meaning that there exists $c>0$ such that \begin{eqnarray} (1)\quad\sup{\mathbf{p}} \dim{\mathrm{H}} \mu{\mathbf{p}} < 1- c. \label{dimgap} \end{eqnarray} Moreover, they showed that $c \geq 10^{-7}$. Their proof was based on considering sets of large deviations for the asymptotic frequency of certain digits from the one prescribed by $\mu_T$.

In this talk we will discuss an alternative proof of (1) which instead reduces to obtaining good lower bounds on the asymptotic variance of a class of potentials.

Morsifications of real plane curve singularities, i.e., deformations with the maximal possible numer of real hyperbolic nodes, have been introduced in 70th by N. A'Campo and S, Gusein-Zade for computing important singularity invariants. We discuss the (still open) existence problem for morsifications, possible extensions to higher dimensions, and recently discovered relations to combinatorics of quivers that appears in the theory of cluster algebras. Based on joint works with P. Leviant and with S. Fomin, P. Pylyavskyy and D. Thurston.

Le spectre d'un graphe aléatoire est constitué des valeurs propres de la matrice d'adjacence associée. D'un point de vue probabiliste, on s'intéresse aux spectres de grands graphes aléatoires dilués, c'est à dire contenant un grand nombre de sommets et un nombre d'arêtes proportionnel au nombre de sommets. Dans cet exposé, je donnerai un résultat de convergence du spectre pour certaines suites de graphes aléatoires dont la taille tend vers l'infini. La preuve, basée sur la méthode des moments, m'amènera à compter des chemins sur des graphes et à introduire la notion de convergence locale.

Cet exposé sera centré sur le résultat suivant, établi avec Cyril Lecuire et reposant sur de nombreuses contributions: un groupe de type fini quasi-isométrique au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois contient un sous-groupe d'indice fini isomorphe au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois.

In joint work with Daniel Mathews, we examined complements of standard Seifert surfaces of special alternating links and enumerated those tight contact structures on them whose dividing sets are isotopic to the link. The number turns out to be the leading coefficient of the Alexander polynomial. The proof is rather combinatorial in nature; for example, the Euler classes of the contact structures are identified with `hypertrees' in a certain hypergraph. Using earlier results with Hitoshi Murakami and Alexander Postnikov, this yields a connection between contact topology and the Homfly polynomial. We also found that the contact invariants of our structures form a basis for the sutured Floer homology of the manifold.

On s’intéresse dans cet exposé au processus de Langevin sur-amorti à basse température $ h\to 0 $ associé à un potentiel $ f $ de Morse dans un domaine borné $ \Omega $. Le générateur infinitésimal associé est alors donné par l’opérateur différentiel semi-classique $ L = \nabla f\cdot \nabla - \frac h 2 \Delta $ qui est, à conjugaison près, un Laplacien de Witten.

Lorsque le domaine $ \Omega $ est un puits confinant du potentiel $ f $ avec un seul minimum local, il est connu que les trajectoires de ce processus, partant d’un point $ x \in \Omega $, sortent de $ \Omega $ (i.e. atteignent $ \partial \Omega $) dans un voisinage des minima globaux de $ f |_{\partial \Omega} $ avec une probabilité tendant vers $ 1 $ lorsque $ h\to 0 $.

On cherchera ici à obtenir et à généraliser ces résultats à des domaines $ \Omega $ plus généraux lorsque le processus suit initialement une distribution naturelle dans $ \Omega $ appelée distribution quasi-stationnaire. Cela revient à étudier précisément certaines propriétés liées au bas du spectre de l’opérateur $ L $. On verra aussi que les résultats obtenus pour la distribution quasi-stationnaire peuvent s’étendre à certaines conditions initiales déterministes. (Travail en collaboration avec Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre et Boris Nectoux)

L'exposé commencera par rappeler des faits élémentaires sur la stabilité des équilibres des équations différentielles hamiltoniennes.

Ensuite, motivé par des applications aux fluides capillaires ou aux équations de Schrödinger non linéaires, je discuterai des propriétés de stabilité --- co-périodique ou modulationelle --- des ondes périodiques des systèmes de type Euler--Korteweg ou des équations de type Korteweg--de Vries. L'accent sera mis d'une part sur les liens avec l'intégrale d'action associée aux équations de profil et d'autre part sur les limites harmonique/faible amplitude et soliton/grande période.

La plupart des résultats sont issus d'une série de travaux principalement réalisés avec Sylvie Benzoni-Gavage (Lyon 1/IHP).