Le taux de récupération d’hydrocarbures dans des réservoirs de pétrole doit être élevé pour rentabiliser les investissements. Ainsi, les méthodes d’extraction deviennent de plus en plus sophistiquées afin de récupérer l’huile très visqueuse restée bloquée dans le réservoir. Une famille de méthodes appelée récupération assistée (EOR : Enhanced Oil Recovery) est de nos jours utilisée grâce à l’usage d’espèces chimiques telles que les polymères ou les surfactants. Ces procédés permettent de pousser plus efficacement l’huile visqueuse. Cependant, ces produits coûtant chers, de l’eau est injectée dans le réservoir à la suite d’un bouchon de produits chimiques. Or, il existe une différence de viscosités entre l’eau et les espèces chimiques se traduisant également par une différence de mobilités des fluides, la mobilité étant vue comme l’inverse de la viscosité. Lorsque le fluide poussé est plus visqueux que le fluide poussant, on parle d’écoulement à rapport de mobilités défavorable. Cette différence de mobilités produit des instabilités dans l’écoulement en créant des digitations visqueuses, sorte de doigts avançant plus rapidement que les espèces chimiques et arrivant ainsi plus rapidement au niveau du puits de production.
En effet, en ne considérant que l’huile visqueuse et l’eau moins visqueuse, le problème d’écoulement peut se modéliser à l’aide d’une équation elliptique en pression et d’une équation hyperbolique en saturation. Grâce à une analyse par perturbations linéarisées, on montre que ce modèle devient instable pour un rapport de mobilités supérieur à un certain seuil : de petites erreurs d’arrondi ou numériques vont alors potentiellement s’amplifier et dégrader la solution. Une répercussion spectaculaire de ces instabilités se manifeste dans l’effet d’orientation du maillage (qui existe en fait toujours à cause de la discrétisation spatiale mais qui est exacerbé au-dessus du rapport de mobilités critique). Ainsi, la forme de la solution obtenue pourra être totalement changée selon le maillage considéré. Si une rotation est effectuée sur un maillage, la solution se propagera selon les axes principaux du maillage et ne donnera pas les mêmes résultats de simulation.
Dans cette étude, on s’intéresse aux écoulements à rapports de mobilités défavorable sur maillage cartésien. L’objectif est de remédier au problème d’orientation de maillage en étudiant de nouveaux schémas numériques plus précis. Dans un premier temps et après avoir décrit le modèle et les instabilités, nous nous intéressons à une famille de schémas à 9 points. Cette méthode fait intervenir plus de mailles dans le stencil pour réduire les erreurs commises sur l’équation en pression. La minimisation via des analyses de Fourier et des développements limités, des erreurs dans la direction de propagation du fluide et dans une direction perpendiculaire à celle-ci permet d’obtenir des paramètres optimaux pour ce schéma à 9 points. Des résultats numériques confirment le choix de ces paramètres qui réduisent l’effet d’orientation de maillage, notamment dans le cas de maillage carré.
Un schéma multi-dimensionnel est étudié et mis en œuvre sur l’équation en saturation. Il nécessite la mise en place d’un maillage dual afin de décentrer différemment les mobilités des fluides en prenant mieux en considération la direction de l’écoulement par l’intermédiaire de fonctions locales à la maille duale. Diverses fonctions sont étudiées et un résultat empirique est démontré de manière rigoureuse grâce à la minimisation d’une intégrale d’erreur sur tous les angles de rotation de maillage. Les mêmes simulations que pour le schéma à 9 points sont réalisées afin de comparer les résultats numériques. En maillage rectangulaire, la forme de la solution est meilleure que pour le schéma précédent mais l’erreur commise reste toute de même dépendante de l’orientation de maillage.