On s’intéresse dans cet exposé au processus de Langevin sur-amorti à basse température $ h\to 0 $ associé à un potentiel $ f $ de Morse dans un domaine borné $ \Omega $. Le générateur infinitésimal associé est alors donné par l’opérateur différentiel semi-classique $ L = \nabla f\cdot \nabla - \frac h 2 \Delta $ qui est, à conjugaison près, un Laplacien de Witten.

Lorsque le domaine $ \Omega $ est un puits confinant du potentiel $ f $ avec un seul minimum local, il est connu que les trajectoires de ce processus, partant d’un point $ x \in \Omega $, sortent de $ \Omega $ (i.e. atteignent $ \partial \Omega $) dans un voisinage des minima globaux de $ f |_{\partial \Omega} $ avec une probabilité tendant vers $ 1 $ lorsque $ h\to 0 $.

On cherchera ici à obtenir et à généraliser ces résultats à des domaines $ \Omega $ plus généraux lorsque le processus suit initialement une distribution naturelle dans $ \Omega $ appelée distribution quasi-stationnaire. Cela revient à étudier précisément certaines propriétés liées au bas du spectre de l’opérateur $ L $. On verra aussi que les résultats obtenus pour la distribution quasi-stationnaire peuvent s’étendre à certaines conditions initiales déterministes. (Travail en collaboration avec Giacomo Di Gesù, Tony Lelièvre et Boris Nectoux)

L'exposé commencera par rappeler des faits élémentaires sur la stabilité des équilibres des équations différentielles hamiltoniennes.

Ensuite, motivé par des applications aux fluides capillaires ou aux équations de Schrödinger non linéaires, je discuterai des propriétés de stabilité --- co-périodique ou modulationelle --- des ondes périodiques des systèmes de type Euler--Korteweg ou des équations de type Korteweg--de Vries. L'accent sera mis d'une part sur les liens avec l'intégrale d'action associée aux équations de profil et d'autre part sur les limites harmonique/faible amplitude et soliton/grande période.

La plupart des résultats sont issus d'une série de travaux principalement réalisés avec Sylvie Benzoni-Gavage (Lyon 1/IHP).

On s'intéresse aux fréquences de résonances de cavités optiques bidimensionnelles présentes dans certains micro-résonateurs optiques et plus particulièrement aux modes de galerie: ce sont des modes localisés à la frontière de la cavité. Dans un premier temps nous allons voir comment calculer numériquement les résonances d'une cavité. Les résonances et modes sont solution d'un problème aux valeurs propres pour l'équation de Helmholtz dans l'espace tout entier, avec des conditions d'interface et d'ondes sortantes à l'infini. On va devoir modifier ce problème afin de pouvoir faire un calcul numérique mais cela va créer des modes parasite que l'on va devoir distinguer des modes résonants. Parmi les résonances, nous ne sommes intéressés que par celle à mode de galerie. Donc dans une deuxième partie nous verrons comment localiser les résonances à mode de galerie parmi les résonances grâce à des développements asymptotiques pour certain type de cavité.

Via deux exemples, j'essaierai de montrer comment la théorie des déformations isomonodromiques peut s'appliquer à des domaines de recherche assez variés. Le premier exemple concerne l'étude de certaines distributions de probabilité liées aux matrices aléatoires (distribution de Tracy-Widom et ses généralisations). Le deuxième la géométrie énumérative et, notamment, les nombres d'intersection sur l'espace de Deligne-Mumford des courbes stables (conjecture de Witten).

On commence par un rappel sur des notions d'analyse fonctionnelle. Ensuite, on élabore la théorie de l'élargissement. Finalement, on présente une application à l'équation de Fokker-Planck afin d'étendre le résultat de la décroissance exponentielle du semi-groupe près de l'équilibre global $µ$ dans l'espace de Lebesgue à poids $L^p(m)$.

We give simple conditions for a collection of rational homology spheres to be linearly independent in the rational homology cobordism group. These translate immediately to statements about knot concordance, recovering some results of Livingston and Naik. The key ingredient is correction terms (of either flavour). This is joint work with Kyle Larson.

In this talk I will introduce a class of Legendrian wavefronts associated to surface triangulations. First, I will explain the interplay between the Legendrian isotopy type and the combinatorics of the triangulation. In particular, we will be connecting symplectic geometry and graph theory. Then I will discuss the Floer theory of these wavefronts and provide a description of their dg-algebras. The talk will conclude with two geometric applications.