On dit qu'un groupe $G$ satisfait l'alternative de Tits si pour tout sous-groupe $H$ de $G$, ou bien $H$ est virtuellement résoluble, ou bien il contient un sous-groupe libre non abélien. Le théorème de Tits stipule que les groupes linéaires satisfont l'alternative de Tits.
On montrera le théorème de Tits dans le cas particulier des sous-groupes de $GL_2(\mathbb{R})$. La preuve s'appuiera sur la géométrie des isométries du disque hyperbolique.
On montrera qu'un groupe de type fini virtuellement résoluble à croissance polynomiale est virtuellement nilpotent. Il s'agit donc du sens direct du théorème de Gromov, lorsque l'on sait déjà que le groupe est virtuellement résoluble.
On montrera le sens réciproque dans le théorème de Gromov: un groupe virtuellement nilpotent est à croissance polynomiale. On suivra la preuve de Tits donnée dans son séminaire Bourbaki de 1980 en introduisant la notion de f-croissance (associée à une filtration f).
On évoquera aussi les preuves de Wolf et Bass et celle de Pansu, vraiment différente, qui utilise la comparaison à la croissance des boules pour la métrique de Carnot-Carathéodory dans un groupe nilpotent de Carnot. Il y aura éventuellement un autre exposé dédié entièrement à cette preuve de Pansu.
On commencera par introduire les notions de croissance d'un groupe de type fini. On donnera des exemples et on essayera d'expliquer les motivations de ces définitions.
On parlera également des groupes nilpotents et on énoncera le théorème de Gromov: Un groupe de type fini est à croissance polynomiale si et seulement s'il est virtuellement nilpotent.
Laboratoire de Mathématiques d'Orsay-Université Paris Sud
Date et heure de l'exposé
Lieu de l'exposé
salle Au Val
Résumé de l'exposé
In this talk, we study a stochastic mass conserved reaction-diffusion equation with a linear or nonlinear diffusion term and an additive noise corresponding to a Q-Brownian motion. We prove the existence and the uniqueness of the weak solution. The proof is based upon the monotonicity method. This is joint work with D.Hilhorst and K.Lee.
