Il est connu qu'un polynôme générique de degré d possède d racines complexes. Si le polynôme est réel, le nombre de racines réelles dépend fortement des coefficients. Je vais expliquer comment calculer la moyenne du nombre de racine réel d'un polynôme aléatoire à l'aide de la géométrie complexe et de la géométrie intégrale. Plus généralement, je vais introduire quelques problèmes typiques en géométrie réelle aléatoire.

Dans cet exposé nous traiterons de l'approximation numérique d'un modèle de plasma quasi-neutre dans le régime de dérive. Plus précisément, on introduira un schéma de volumes finis utilisant des grilles décalés pour l'approximation du système d'Euler-Boltzmann quasi-neutre. Le régime de dérive correspond à la limite du système lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. On montrera que le schéma ainsi introduit est inconditionnellement stable. La preuve repose sur la conservation de la positivé et la décroissance d'une énergie discrète. La non linéarité du schéma étant le prix à payer pour obtenir de la stabilité inconditionnelle, nous proposerons un schéma itératif linéaire pour le résoudre pour lequel il est prouvé qu'il est linéairement stable L2 indépendamment du paramètre asymptotique et préserve la positivité. Quelques illustrations numériques seront données et nous comparerons le coût du schéma avec un schéma explicite.

Nous nous focalisons sur le problème d'eau salée dans les aquifères costaux. La dérivation du modèle est basée sur le couplage de la loi de Darcy et du principe de conservation de la masse écrit pour le domaine de l'eau douce et pour celui de l'eau salée. Le modèle final obtenu grâce à l'approche mixte entre interface diffuse et interface abrupte a l’avantage de respecter la physique du problème tout en conservant l’efficacité numérique. Je vous parlerai de la modélisation du problème, des résultats théoriques obtenus et des simulations numériques sur la comparaison du modèle 2D&3D.

L’objet de cet exposé est le type d’homotopie réel des espaces de configuration de variétés compactes simplement connexes, avec ou sans bord. Sous certaines conditions, nous donnons un modèle réel explicite de ces espaces de configuration et qui ne dépend que du type d’homotopie réel de la variété donnée. De plus, nous étudions l’action des opérades des petits disques sur les espaces de configuration, et nous démontrons que le modèle est compatible avec cet action. Dans le cas des variétés à bord, nous démontrons aussi que le modèle est compatible avec l’action des opérades Swiss-Cheese.

Je présenterai quelques résultat sur les diagrammes de nœuds et d'entrelacs obtenus comme intersection d'une courbe algébrique avec une sphère de rayon quelconque.

Soit C une courbe algébrique lisse, on considère l'entrelacs L(r) obtenu comme l'intersection de C avec le bord de B(r), où B(r) est la boule euclidienne de rayon r>0. De nombreux résultats sont connus lorsque r est suffisamment petit ou suffisamment grand. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de r ? Nous étudions le cas intermédiaire via une projection de l'entrelacs et des propriétés de positivité de la tresse associée.

C'est un travail en commun avec Maciej Borodzik.

Si P1,...,Pn, Q1,...,Qn sont des polytopes convexes à sommets dans le réseau Z^n des points entiers de R^n tels que Pi soit inclus dans Qi pour tout i=1,...,n, alors le volume mixte de (P1,...,Pn) est majoré par celui de (Q1,...,Qn). Dans un travail récent avec Ivan Soprunov (Cleveland University), nous caractérisons les paires de n-uplets de polytopes pour lesquelles cette inégalité est stricte. Le lien fondamental entre volume mixte et systèmes polynomiaux est le théorème de Bernstein-Kouchnirenko qui prédit que le nombre de solutions d'un système polynomial de polytopes de Newton P1,...,Pn est génériquement égal au volume mixte de ces polytopes. On utilise notre critère pour obtenir une notion de règle de Cramer pour les systèmes polynomiaux, qui généralise celle connue dans le cas linéaire.