L'inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d'une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, j'expliquerai une preuve d'une conjecture d'Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d'hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge.

Les hypersurfaces qu'on considère proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d'hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d'Itenberg, nous développons un analogue réel de l'homologie tropicale et, à l'aide d'une suite spectrale, nous la comparons à l'homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L'homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d'une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l'hypersurface réelle provenant d'un patchwork.

C'est un travail en commun avec Kristin Shaw.

On montre que sur "presque toute" variété de contact de dimension trois, tous les champs de Reeb ont une entropie topologique positive. En particulier, ils possèdent tous (même dans le cas dégénéré) une infinité d'orbites périodiques. C'est un travail en commun avec Marcelo Alves et Ko Honda.

Soit U un ouvert borné du plan. On étudie les valeurs propres du Laplacien dans U avec les conditions de Robin Dn u=A u où Dn est la dérivée normale sortante et A>0 est un grand paramètre. On s'intéressera au régime asymptotique quand le paramètre A devient grand. Plusieurs auteurs ont étudié ce problème quand U est à bord lisse: dans ce cas le comportement des valeurs propres est géré par l'opérateur effectif T-AK agissant sur le bord de U, où T est le Laplacien 1D et K est la courbure. Notre but est de comprendre l'asymptotique des valeurs propres quand U est un domaine à coins (polygone curviligne). On introduit la notion d'un coin non-résonant (les coins dont l'ouverture est supérieure à \pi/2 possèdent cette propriété) et on l'utilise pour construire l'opérateur effectif: si tous les coins sont non-résonants, cet opérateur à la même expression que dans le cas lisse mais avec une condition de Dirichlet à chaque sommet. On discutera également certains liens entre notre problème, la théorie spectrale des variétés à bouts cylindriques et les valeurs propres des Laplaciens dans domaines convergeant vers un graphe. Ce travail est une collaboration avec Magda Khalile et Thomas Ourmières-Bonafos (Orsay).

Théorie de la diffusion pour des systèmes quantiques dissipatifs

Nous présenterons dans cet exposé la théorie du scattering pour une équation de Schrödinger engendrée par un opérateur dissipatif. De telles équations sont très souvent utilisées en mécanique quantique pour décrire des phénomènes dissipatifs, par exemple la diffusion ou l'absorption d'un neutron par un noyau lourd. Nous verrons que la présence ou l'absence de singularités spectrales dans le spectre du générateur de la dynamique est liée à la validité de la propriété de complétude asymptotique des opérateurs d'ondes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jürg Fröhlich.