Nous étudions le modèle de régression linéaire dans le cas où les erreurs sont dépendantes entre elles, et forment donc un processus stationnaire. Le but est de retrouver des résultats similaires au cas classique et bien connu où les erreurs sont i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées). On utilise pour cela un résultat de Hannan (1973) qui a prouvé un Théorème Limite Central pour l'estimateur des moindres carrés usuel sous des conditions très souples sur le processus des erreurs et sur le design. Avec ce théorème, on montre que, pour une grande classe de designs, la matrice de covariance asymptotique est très similaire au cas i.i.d.. De ce fait, nous estimons cette matrice de covariance en utilisant un estimateur de la densité spectrale dont la consistance est prouvée sous de faibles conditions. Afin d'appliquer ces résultats, nous montrons comment modifier les tests de Fischer usuels dans ce contexte dépendant et nous illustrons la performance de cette procédure grâce à des simulations.

C'est en 1958 que René Thom posa la question fatidique: "Peut-on munir n'importe quelle variété compacte lisse d'une métrique riemannienne mieux que les autres ?". Après avoir défini ce que l'on entend par une métrique riemannienne sur une variété, on se demandera ce qu'on entend au juste par "mieux que les autres". Cela nous amènera à parler de courbure, ou plutôt de courbures: qu'est-ce que la courbure d'une courbe ? D'une surface dans R^3 ? Comment généraliser aux dimensions supérieures ? SI le temps le permet, je parlerai du cadre plus spécifique dans lequel je travaille, celui des métriques de Kähler, et les questions liées aux métriques canoniques dans ce contexte.

Colorions les entiers (disons relatifs) en bleu, vert, rouge. Quels sont les motifs que l'on peut observer dans cette suite ? Difficile de répondre à cette question, elle est assez large pour y faire rentrer des pans entiers de mathématiques contemporaines. Ça en fait un bon point de départ pour un séminaire, non ?

Je n'aurai malheureusement pas le temps d'exposer tous ces aspects ; je me concentrerai sur les résultats issus de la théorie des systèmes dynamiques (je vous encourage à aller regarder vous-même du côté de la théorie ergodique), et prouverai entre autres le théorème de Van der Waerden : pour tout coloriage avec un nombre fini de couleurs, il existe au moins une couleur contenant des suites arithmétiques arbitrairement longues. Ce résultat sympathique mais qui ne paie pas de mine est à la base du théorème de Green-Tao [2004] : les entiers premiers contiennent des suites arithmétiques arbitrairement longues. Et ça mes amis, c'est ce que l'on appelle de belles mathématiques.

Lorsqu'on prend une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 i.i.d de loi μ sur SL(n,R), on peut s'intéresser aux produits de ces matrices.

On prend μ une mesure de probabilité à support fini et on étudie l'asymptotique des produits Xn...X1 et X1...Xn d'abord dans le cas où le support de la mesure est commutatif. Dans le cas non commutatif on introduit les exposants de Lyapunov par une sorte de loi des grands nombre sur ces produits ainsi que plusieurs théorèmes limites dûs à Furstenberg-Kesten, Guivarc'h-Raugi. Un des objets limites associé est ce qu'on appelle la matrice de Lyapunov.

Une des questions que je pose est la suivante : où peut-on "trouver" ces moyennes de Lyapunov lorsqu'on fait varier le support de la mesure μ dans un sous-groupe Γ ?

Un problème central de la géométrie spectrale des surfaces hyperboliques est l'étude des petites valeurs propres du laplacien (i.e. contenues dans l'intervalle [0,1/4[ ). On verra comment, sous une hypothèse de systole minorée, on peut minorer ces valeurs propres, et éventuellement montrer l'absence de petites valeurs propres non nulles.

Un domaine $f$-extrémal dans une variété $M$ est un domaine $\Omega$ qui admet une solution positive $u$ à l'équation $\Delta u+f(u)=0$ avec donnée de Dirichlet nulle au bord et donnée de Neumann constante. Grâce à un résultat de Serrin il est connu que dans $\mathbb R^n$ un tel domaine $f$-extrémal doit être une boule. Dans cet exposé, je démontrerai qu'un domaine $f$-extrémal de $\mathbb S^2$ qui est topologiquement un disque est nécessairement un disque géodésique sous certaines hypothèses sur $f$.

Il s'agit d'un travail en commun avec J.M. Espinar.