We show that for arbitrary nonelementary actions $G\curvearrowright X$ of hyperbolic groups on Gromov hyperbolic spaces, translation length on average grows linearly in word length. In particular, the proportion of loxodromic elements in a large ball in the Cayley graph converges to 1. This holds even when the action is not in any sense alignment preserving: for example a dense free subgroup of $SL_2R$ acting on the hyperbolic plane, or a hyperbolic subgroup of the mapping class group acting on the curve complex. Along the way we describe the behavior in the space $X$ of typical word geodesics in the group: for example, with respect to the Patterson-Sullivan measure on the boundary group, the orbit of almost every word geodesic logarithmically tracks a geodesic in $X$. We prove analogous counting results for more general groups, including relatively hyperbolic groups with virtually abelian subgroups and right angled Artin and Coxeter groups. Our results hold more generally for automatic groups satisfying certain properties: groups parametrized by paths in a finite directed graph. Indeed, the automatic structure is what allows us to reduce the asymptotic geometry of the Cayley graph of $G$ to a certain Markov chain on a finite graph and a family of random walks on $G$ associated to vertices of the finite graph. This is joint work with Sam Taylor and Giulio Tiozzo.

Le travail que je vais présenter porte sur la résolution numérique du modèle multi--dimensionnel d'écoulement cisaillé en eau peu profonde. Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel, ces équations coïncident avec les équations de la dynamique de gaz pour un choix particulier de l'équation d'état. Dans le cas multi-dimensionnel, le système est complètement différent du modèle de la dynamique de gaz. Il s'agit d'un système EDP hyperbolique 2D non-conservatif qui rappelle un modèle de turbulence barotrope. Le modèle comporte trois types d'ondes correspondant à la propagation des ondes de surface, des ondes de cisaillement et à celle de la discontinuité de contact.

Je vais présenter dans le cas 2D un schéma numérique basé sur une nouvelle approche de ``splitting" pour les systèmes d'équations non-conservatives. Chaque sous-système ne contient qu'une seule famille d'ondes: ondes de surface ou ondes de cisaillement, et discontinuité de contact. La précision d'une telle approche est testée sur des solutions exactes 2D décrivant l'écoulement lorsque la vitesse est linéaire par rapport aux variables spatiales, ainsi que sur des solutions décrivant des trains de rouleaux 2D.

Finalement, je vais présenter la modélisation d'un ressaut hydraulique circulaire formé dans un écoulement convergent radial d'eau. Les résultats numériques obtenus sont clairement similaires à ceux obtenus expérimentalement: oscillations du ressaut et son rotation avec formation du point singulier.

L'ensemble des validations proposées démontre les aptitudes du modèle et de la méthode numérique pour la résolution des problèmes complexes d'écoulements cisaillés en eau peu profonde multidimensionnels.

Mots-clés: équations d'écoulement cisaillé en eau peu profonde, équations hyperboliques non-conservatives, schéma de Godunov, ondes de choc, trains de rouleaux, ressaut hydraulique circulaire

L'inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d'une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, j'expliquerai une preuve d'une conjecture d'Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d'hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge.

Les hypersurfaces qu'on considère proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d'hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d'Itenberg, nous développons un analogue réel de l'homologie tropicale et, à l'aide d'une suite spectrale, nous la comparons à l'homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L'homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d'une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l'hypersurface réelle provenant d'un patchwork.

C'est un travail en commun avec Kristin Shaw.

On montre que sur "presque toute" variété de contact de dimension trois, tous les champs de Reeb ont une entropie topologique positive. En particulier, ils possèdent tous (même dans le cas dégénéré) une infinité d'orbites périodiques. C'est un travail en commun avec Marcelo Alves et Ko Honda.

Soit U un ouvert borné du plan. On étudie les valeurs propres du Laplacien dans U avec les conditions de Robin Dn u=A u où Dn est la dérivée normale sortante et A>0 est un grand paramètre. On s'intéressera au régime asymptotique quand le paramètre A devient grand. Plusieurs auteurs ont étudié ce problème quand U est à bord lisse: dans ce cas le comportement des valeurs propres est géré par l'opérateur effectif T-AK agissant sur le bord de U, où T est le Laplacien 1D et K est la courbure. Notre but est de comprendre l'asymptotique des valeurs propres quand U est un domaine à coins (polygone curviligne). On introduit la notion d'un coin non-résonant (les coins dont l'ouverture est supérieure à \pi/2 possèdent cette propriété) et on l'utilise pour construire l'opérateur effectif: si tous les coins sont non-résonants, cet opérateur à la même expression que dans le cas lisse mais avec une condition de Dirichlet à chaque sommet. On discutera également certains liens entre notre problème, la théorie spectrale des variétés à bouts cylindriques et les valeurs propres des Laplaciens dans domaines convergeant vers un graphe. Ce travail est une collaboration avec Magda Khalile et Thomas Ourmières-Bonafos (Orsay).

Théorie de la diffusion pour des systèmes quantiques dissipatifs

Nous présenterons dans cet exposé la théorie du scattering pour une équation de Schrödinger engendrée par un opérateur dissipatif. De telles équations sont très souvent utilisées en mécanique quantique pour décrire des phénomènes dissipatifs, par exemple la diffusion ou l'absorption d'un neutron par un noyau lourd. Nous verrons que la présence ou l'absence de singularités spectrales dans le spectre du générateur de la dynamique est liée à la validité de la propriété de complétude asymptotique des opérateurs d'ondes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jürg Fröhlich.